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學習重點 掌握十進位的單位化：十個「一」可以合成一個新的計數單位「十」；一個「十」也可以拆成十個「一」。 分清個數與總量：「一捆」和「十枝」的計數單位不同，數字雖不同，所表示的鉛筆總量可以相同。 辨別具體呈現與約定價值：啟蒙教具應讓學生透過點數、捆綁、拆解或拼接，直接看出十與一的關係。 掌握教具選擇原則：十枝成捆的鉛筆、長度等於十個小積木的長積木，都能呈現十個單位合成一個較大單位，屬於比例式表徵；硬幣面額的兌換依賴貨幣制度的約定，屬於非比例式表徵，不適合用於啟蒙。 核心觀念 一、十進位的起點：把十個一看成一個十 建立十進位位值概念，不能只讓學生背誦「十個一等於一個十」，還要讓學生理解：同一個數量，可以用不同大小的單位來計數。以鉛筆為例，逐枝點數時，十枝鉛筆是十個「一」；把這十枝綁在一起，並以整捆為計數單位時，就可以看成一個「十」。 這種把若干小單位合成一個新單位的歷程，稱為單位化。學生必須同時理解兩件事：一捆是一個整體，而這個整體裡面包含十枝。不能只看到外面的「一捆」，卻忽略裡面的「十枝」。 因此，「一個十」與「十個一」相等，是指所表示的總量相等，不是說「1」與「10」這兩個數字相等。若省略計數單位，只寫成「1＝10」，就失去了原本的數學意義。 二、具體表徵：讓十與一的關係可以被操作、看見與驗證 作為啟蒙活動的教具，應讓學生能以具體操作確認：較大的單位確實由十個較小的單位組成，或其量值恰好等於十個小單位的合量。重點不是教具上有沒有寫「10」，而是學生能不能直接驗證十個一與一個十的關係。 具體驗證有兩種方式。一種是把十個可分開的物件集合成一組，例如將十枝鉛筆捆成一捆；另一種是比較量的大小，例如將十個相同的小積木依序拼接，確認總長恰好等於一條長積木。兩者都能提供可觀察的依據，不必單靠成人告知兌換規則。 活動中應固定小單位的大小或內容。用鉛筆點數，就以每枝鉛筆為一個單位；用積木比較長度，就以相同小積木的長度為一個單位。比較前先確認「一」指的是什麼，才能判斷是否真的合成一個十。 三、比例式與非比例式表徵 位值教具常依「大單位的大小是否直接反映它所含的小單位數量」來分類： 比例式表徵：代表十的物件，其數量或大小恰為代表一的十倍，學生看得出、驗證得到。其中又可分為可拆組（如鉛筆、吸管、冰棒棍可自己捆起或拆開）與已組好（如長條積木與小積木，只能比較、不能拆開）。 非比例式表徵：代表十的物件與代表一的物件在大小上沒有十倍關係，必須依約定理解其價值，例如錢幣、不同顏色的籌碼、算盤上的珠子位置。 建立「一個十等於十個一」的啟蒙活動，應先使用比例式表徵；待概念穩固後，才進入錢幣等非比例式表徵。 四、成捆鉛筆：透過集合與拆解建立十的單位 十枝散裝鉛筆可以逐枝點數，直接呈現十個一；將同樣的十枝鉛筆捆起來，便形成一個可被整體辨認的「十」。學生既能看到整捆，也能拆開檢查裡面的枝數，因此適合用來建立十進位單位。 教學時，可先請學生點出十枝，再捆成一捆，接著追問：「現在是幾捆？裡面共有幾枝？」讓學生說出「一捆，十枝」，連結兩種計數方式。最後拆開重數，確認捆綁只改變組織與計數方式，沒有改變鉛筆總量。 這也說明，教具不必是專門製作的數學積木。只要日常物品能清楚呈現十個小單位合成一個大單位，並容許學生檢查其組成，就可以作為適當的具體材料。 五、長短積木：透過長度合成呈現十倍關係 若十個相同的白色小積木拼接後，總長恰好等於一條橘色長積木，就能把小積木的長度當作「一」，把長積木代表的長度當作「十」。學生可藉由排列、對齊與比較，直接驗證一條長積木的長度等於十個小積木的總長。 操作時應讓小積木沿同一直線緊密排列，不留空隙、不互相重疊，並與長積木的一端對齊，再比較另一端是否一致，才能清楚呈現長度的合成關係。 判斷積木是否適用，依據是長度關係，不是顏色。橘色本身並不必然代表十，白色也不必然代表一；在這個活動中，是因為長積木與十個小積木的總長相等，才足以支撐十與一的關係。 六、硬幣：面額相等不等於具體呈現十個一 一枚十元硬幣與十枚一元硬幣的金額確實相等，但這個相等關係依據的是貨幣面額及其兌換約定。十元硬幣並不是一元硬幣的十倍大或十倍重，學生無法只從它的外形、大小或材質，直接看出它由十個一元組成。 因此，硬幣雖可用於金額計算與兌換活動，若教學目標是初次建立「一個十等於十個一」，就不如成捆鉛筆與等長積木直接。選擇教具時，必須區分數值關係正確與適合用來啟蒙這兩件事。 教具表徵類型相等的依據作為啟蒙活動的判斷 一捆十枝鉛筆與十枝散裝鉛筆比例式（可拆組）可點數、捆綁與拆開，確認都是十枝合適，直接呈現十個一合成一個十 一條長積木與十個小積木（等長）比例式（已組好）十個小積木拼接後，總長與長積木相等合適，可透過長度比較驗證十倍關係 一枚十元硬幣與十枚一元硬幣非比例式依貨幣面額約定，兩者金額相等不適合用於啟蒙，無法直接呈現十個單位的合成 因此三組教具中，只有鉛筆與積木兩組適合用來建立「一個十和十個一相等」的啟蒙活動。 常考陷阱 「只要可以等值交換，就適合建立十的概念。」等值交換可能來自制度約定。判斷關鍵是學生能否透過教具本身，直接看出或操作驗證十個一合成一個十。 「硬幣是具體物，所以一定是合適的具體表徵。」物品摸得到，不代表它所表示的數量關係也看得見。十元硬幣是具體物，但其面額仍須依賴約定理解，屬於非比例式表徵。 「三組都能表示十個一等於一個十，所以全部都合適。」題目問的是「啟蒙活動」較合適的教具，數值正確不等於適合入門；硬幣應排除。 「只有積木是數學教具，鉛筆不能使用。」是否合適取決於能否呈現目標概念。十枝成捆的鉛筆能直接表現單位的集合，並可拆開驗證，同樣合適。 「長積木不能拆開，所以無法表示十個一。」能否拆解不是唯一標準。只要十個相同小積木的總長與長積木相等，就能以長度比較呈現兩者關係，仍屬比例式表徵。 「一捆只有一個，散裝有十個，所以數量不同。」這是混淆計數單位。一捆與十枝可以表示相同總量，必須連同「捆」與「枝」一起解讀。 「橘色代表十、白色代表一，記住顏色即可。」顏色只能協助辨識，不能作為數量相等的理由。應檢查十個小積木與長積木是否確實等長；若只靠顏色約定，就變成非比例式。 「捆起來之後，十枝就變成一枝。」合成新單位不會使原有物件減少。正確說法是十枝合成一捆，而一捆仍包含十枝。 記憶口訣 「十個一，合成十；一個十，拆回十個一。」合成與拆解都不改變總量，只改變計數單位。 「看得到十倍才啟蒙，只靠面額往後放。」鉛筆捆、等長積木看得出十倍關係，適合入門；錢幣只靠約定，留待概念穩固後再用。