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學習重點 判斷反比例的關鍵是找出兩量的乘積固定，並能說明乘積代表哪一個總量。 掌握「注水速率×時間＝水量」「組數×每組人數＝總人數」「每排塊數×排數＝地磚總數」等固定總量模型。 總量相同時，速率與完成時間成反比；求速率之比時，要把時間比前後顛倒。 工程問題要在總工作量固定、每人工作效率相同且不變的前提下，才能用人數與天數的反比關係。 能辨識學生把反比當正比的錯誤，指出錯誤步驟和影響它的已學知識，並用固定總量說明正確算法。 核心觀念 一、反比例的本質：積不變 設兩個正數量為甲、乙。若甲×乙＝固定值，則甲與乙成反比：甲變為原來的幾倍，乙就變為原來的幾分之一。例如甲變為原來的2倍，乙就變為原來的1/2，乘積才能維持不變。 解題時先問「什麼量固定？」，再問「哪兩個量相乘會得到這個固定量？」。不能看見兩個數量就直接套比例式，也不能只憑「一個增加、另一個減少」就認定是反比，因為和不變也會一增一減。 關係判斷方式典型意義 和不變甲＋乙＝定值固定總數分成兩部分 差不變甲－乙＝定值兩量保持固定差距，如兩人年齡差 積不變甲×乙＝定值反比例，如固定工作量下的人數與時間 商不變甲÷乙＝定值正比例，如固定單價下的總價與數量 所以「總量固定」不等於「和不變」，要看總量是怎麼由兩個量組成的：相加得到的是和不變，相乘得到的就是積不變。 二、固定水量：注水速率與時間 注水問題的基本關係是每分鐘注水量×注水分鐘數＝總注水量。水塔容量固定，且沒有漏水或同時排水時，注水速率與所需時間成反比，屬於積不變。 計算前要先統一時間單位。例如每分鐘注水25公升、需1小時注滿，先把1小時換成60分鐘，得到總水量25×60＝1500公升。若要在40分鐘內注滿，每分鐘需注水1500÷40＝37.5公升。 也可以從倍數來看：時間變為原來的40/60＝2/3，速率就要變為原來的3/2，25×3/2＝37.5。時間縮短，速率必須提高，算完後可以用這個方向檢查答案。 三、固定人數：組數與每組人數 等人數分組的關係是組數×每組人數＝全班總人數。全班人數固定時，每組人數越多，組數就越少，兩者的乘積不變，屬於積不變。 例如全班28人，用28的因數找出配對：1組每組28人、2組每組14人、4組每組7人、7組每組4人、14組每組2人、28組每組1人。題目沒有排除只分一組或每組一人的情況時，這些都符合等人數分組。 兩個量的角色不同：「4組、每組7人」和「7組、每組4人」是不同的分法。組數與每組人數都必須是正整數，所以要用因數配對來找。這類題目也常用來連結因數的學習。 四、固定地磚數：長方形的長與寬 用大小相同的正方形地磚，不切割、不重疊、沒有空隙地拼成長方形時，每排塊數×排數＝地磚總塊數。地磚總數固定，這兩個量就是積不變。 36塊地磚可以整理成1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。若旋轉後視為同一種，並且把正方形算進去，共有5種拼法；題目另有限制時，依限制調整。 邊長30公分這個資訊，是用來把塊數換成實際長度。若每排a塊、共b排，長與寬分別是30a公分和30b公分，面積為900ab平方公分。當ab＝36時，面積固定為32400平方公分，所以長×寬也是定值，但周長不一定固定。 五、等高蠟燭：速率與時間成反比 兩枝蠟燭高度相同，依題意視為均勻燃燒。設共同高度為H，則燃燒速度（每小時減少的高度）＝原高度÷燒完時間。 細蠟燭3小時燒完，速度為H/3；粗蠟燭5小時燒完，速度為H/5。所以細蠟燭與粗蠟燭的速度比為： （H/3）：（H/5）＝1/3：1/5＝5：3（前後同乘15化成整數比）。 共同高度可以約去，不需要知道實際高度。也可以直接用反比來想：總量相同時，時間比3：5，速度比就是5：3。燒得越快的蠟燭，燒完所需時間越短。這裡比較的是每單位時間減少的高度，不要自行改成比較燃燒的體積或質量。 六、固定工程量：人數與天數 假設每位技師效率相同且不變、每天工時相同、工作可以分配合作，就可以用人數×工作天數＝固定的人日數來表示工程量。 6人做10天，工程量為6×10＝60人日。改由12人做，所需天數為60÷12＝5天。也可以從倍數看：人數變為2倍，天數就變為1/2，10÷2＝5天。 學生若先算12÷6＝2，這一步沒有錯，表示人數變為原來的2倍。錯在下一步把原本的天數也乘以2，算成10×2＝20天。這是受到已學過的正比例概念（一量變幾倍，另一量也變幾倍）影響：學生沒有先確認工程量固定，就把正比的同向倍增套到反比情境。 申論作答時要寫齊四件事：錯誤步驟、迷思來源、固定量、正確算法。只寫「應該除以2」不夠，還要說明人數與天數的乘積必須維持60人日。 常考陷阱 看到「總共」就選和不變：總水量、總人數、總地磚數，其實常是兩量相乘的結果。先寫出關係式，再判斷不變的是和、差、積還是商。 把反比誤認為商不變：總量固定時，速率加倍、時間減半，保持不變的是乘積。商不變對應的是正比例。 只靠一增一減判斷：和不變也會一增一減。必須確認是否「一量變幾倍，另一量變為其倒數倍」。 時間比直接當速率比：高度或工作量相同時，時間比3：5，速率比應為5：3。比的前後順序仍要依題目指定的對象（細：粗）排列。 人數加倍，天數也加倍：這樣人數與天數的乘積會變成原來的4倍，違反總工程量固定。判斷學生錯誤時，要指出是把正比規則誤用在反比情境。 混用小時與分鐘：每分鐘的速率要配分鐘數計算，1小時必須先換成60分鐘，不能直接用25×1。 分組與拼法的計數方式不同：組數與每組人數互換，通常是不同的分法；長方形長寬互換若只是旋轉，通常視為同一種拼法。 面積固定就以為周長固定：地磚總數固定只能確保總面積固定，不能推論長寬和或周長固定。 記憶口訣 先找固定量，再看怎麼算；相乘得定量，反比就登場。 一量乘幾倍，另一量除幾倍；同量比速率，時間比倒過來。