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學習重點 先確認題目要數的是「作為材料的小三角形個數」，再從圖 1、圖 2、圖 3 的總數與相鄰兩圖的增加量找出規律。 依圖形結構寫出第 n 個圖所需個數 an，並代回前幾個圖檢查，特別注意圖形的邊長或排數是否比項次多一。 「用 300 個排出第 n 個圖，會剩下一些」要列成 an＜300，不能取等號。 求最大項次時，要同時驗證「第 k 個圖排得出來且有剩」及「第 k＋1 個圖已不符合」。本單元答案為 n 的最大值＝16。 核心觀念 一、先看清楚計數單位 題目說「用一些三角形排出圖形」，要計算的是拼出圖形所用的小三角形塊數。不要改成計算線段、頂點，也不要把數個小三角形合成的大三角形另外算成一塊材料。 觀察時，可以把每個圖分成橫排、直列或新增的外圈。分區要做到不漏算、不重複；如果兩個區域有重疊，相加後要扣掉重疊部分。 二、用「項次、總數、增加量」建立數列 令 an 表示第 n 個圖所需的三角形個數。先列出前三個圖的個數，再算相鄰兩圖的差。 觀察到的規律數量關係判斷重點 每次固定增加 d 個an＝a₁＋（n－1）d相鄰兩項的差固定，屬於等差數列，總數是一次式。 增加量本身逐次等量增加總數為二次式不能直接套用等差數列通項，要依結構寫出式子。 分成若干排，每排一樣多總數＝排數×每排個數確認排數與每排個數是否都隨 n 改變。 由長度不同的各排組成總數＝各排個數相加先寫出每排的個數，再用求和公式。 拼成大三角形或平行四邊形的圖形，每一圖新增的數量通常會越來越多，總數多半是二次式。這時若誤用等差數列的通項，結果會偏差很大。 三、三角形拼圖常用的計數公式 邊長為 k 個單位的大三角形，由 k 排組成，各排小三角形依序為 1、3、5、⋯、（2k－1）個，所以共有 1＋3＋⋯＋（2k－1）＝k² 個。 連續整數的和：1＋2＋⋯＋n＝n（n＋1）÷2。 連續偶數的和：2＋4＋⋯＋2n＝n（n＋1）。若每排的三角形數依序為 2、4、6、⋯，或圖形是 n 排、每排 n＋1 個的排列，總數就是這個式子。 公式寫好後，一定要代入 n＝1、2、3，確認和圖 1、圖 2、圖 3 的實際個數相同。最容易出錯的是起始項：如果圖 1 已經是邊長 2 的大三角形，第 n 個圖的邊長就是 n＋1，不是 n。 四、把「材料有限」翻成不等式 題目條件數學表示 材料夠用，可以剛好用完an ≤ M 排完後會剩下一些an＜M 剛好用完an＝M 本單元的材料是 300 個三角形，而且排完要有剩，所以列 an＜300，也就是 an ≤ 299。 五、求最大項次：檢查相鄰兩項 當 an 隨 n 遞增時，最大項次 k 必須滿足： ak＜300（第 k 個圖排得出來，而且有剩）； ak＋1 ≥ 300（第 k＋1 個圖已經不行）。 二次式可以先用平方根估計範圍：√300 約為 17.3，所以答案會在 16、17 附近，再把相鄰兩項算出來確認。下表比較三種常見的式子： 第 n 個圖的個數第 16 個圖第 17 個圖n 的最大值 （n＋1）²（圖 1 為邊長 2 的大三角形）17²＝289＜30018²＝324＞30016 n（n＋1）（每排 2、4、6、⋯）16×17＝272＜30017×18＝306＞30016 n²（誤把邊長當成 n）256289＜30017（錯誤） 正確做法是：依圖寫出 an，確認第 16 個圖用量小於 300、第 17 個圖用量大於或等於 300，得到 n 的最大值＝16。選項 17 正是把邊長或排數少算一的結果。 若解不等式得到非整數界限，要回到「項次是正整數」：n＜17.3 時取 17，n＜17 時取 16。不能直接四捨五入。 常考陷阱 起始項錯位（選 17 的主因）：把第 n 個圖的邊長直接當成 n，套用 n²＜300 得 17。要先用圖 1 檢查公式：n＝1 時算出的個數必須等於圖 1 的實際個數。 單一圖改成累計用量（得到偏小的答案）：題目只排「第 n 個圖」，計算的是 an，不是 a₁＋a₂＋⋯＋an。把前面每個圖都加總，會得到 9 這類偏小的項次。 誤用一次式：只看到圖 1 到圖 2 增加的數量，就假設每次都增加這麼多，用等差數列推算，會得到 26 這類偏大的項次。要先確認增加量是否固定。 把新增數量當成總數：外圈新增幾個只是兩圖之間的差，要加上原有的部分。 忽略「會剩下一些」：要用嚴格小於。剛好用完 300 個的項次不能算進答案。 只驗證一項：第 16 個圖排得出來，不代表 16 就是最大值，還要確認第 17 個圖排不出來。 記憶口訣 先數圖一定起點，邊長常比項次多一；有剩就用小於號，這項可行、下項超標。