多項式乘法、次數與係數

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建立於 2026年11月10日

學習重點 能從整理後的多項式找出最高次項，理解「次數」與「係數」的意義。 分辨加減、乘法與多項式除法的次數規則，避免把所有運算都當成指數運算。 運用分配律展開兩個一次式的乘積，正確處理負號並合併同類項。 利用多項式恆等式比較同次項係數，求出未知係數及其和。 核心觀念 一、先整理，再判定多項式的次數 一元多項式整理並合併同類項後，係數不為零的最高次項，其指數就是多項式的次數。例如 6x^4－2x＋3 的最高次項是 6x^4，因此為四次多項式；最高次項係數是 6，常數項是 3。次數看的是指數，不是係數大小，也不是共有幾項。 如果式子含有未知係數，必須留意最高次項係數是否為零。例如 ax^3＋2x^2－1，只有在 a≠0 時才是三次多項式；若 a＝0，就成為二次多項式。題目已說某式為三次或四次多項式，就表示其最高次項係數一定不為零。 二、多項式加減：看最高次項是否抵消 加減多項式時，只能合併同類項。若兩個多項式次數不同，較低次的多項式沒有足以抵消最高次項的項，因此和與差的次數，都等於兩者中較高的次數。 例如 P 是五次多項式、Q 是二次多項式，無論 P＋Q 或 P－Q，五次項都會保留下來，結果仍為五次多項式。減法只會改變被減去各項的正負號，不會直接把多項式的次數相減。 若兩個多項式次數相同，才要進一步檢查最高次項係數。例如（3x^2＋x）＋（－3x^2＋2）＝x＋2，二次項抵消後，次數降為一次；若沒有抵消，仍為二次。若全部抵消而得到零多項式，則不可直接把它當成零次多項式。 三、多項式乘法與除法：分清楚「積」與「商」 設非零多項式 P、Q 的次數分別為 m、n，最高次項分別是 ax^m、bx^n，其中 a、b 都不為零。相乘後的最高次項是 abx^(m＋n)，其係數仍不為零，所以乘積的次數＝兩個多項式的次數相加。 多項式除法則寫成P＝Q×S＋R，其中 Q 是除式、S 是商式、R 是餘式；R 為零，或其次數小於 Q 的次數。當 m≥n 時，商式 S 的次數＝m－n，不必先知道每一項係數，也不必要求餘式為零。 運算次數判定使用條件與提醒 P＋Q、P－Q次數不同時，取較高者次數相同時，須檢查最高次項是否抵消 P×Qm＋nP、Q 均為非零多項式 P 除以 Q 的商式m－nQ 不為零，且 m≥n 例如六次多項式除以二次多項式，商式為四次；六次多項式乘以二次多項式，乘積則為八次；六次與二次相加或相減，結果仍為六次。若被除式次數小於除式，商式為零，不能硬套相減後得到「負次多項式」。此外，有餘式時，分式 P／Q 不一定是多項式；題目所稱的「商」，是多項式除法中的商式，不可混為一談。 作答這類選擇題時，可先把四種運算的次數都算出來，再逐一對照選項：和、差取較高次，積是次數相加，商是次數相減。只要有一個數字對不上，該選項即為錯誤。 四、分配律展開：每一項都要乘到 兩個一次式相乘，應讓第一個括號的每一項，分別乘上第二個括號的每一項： （x＋a）（x＋b）＝x^2＋bx＋ax＋ab＝x^2＋（a＋b）x＋ab。 因此，一次項係數來自兩個交叉乘積的相加，常數項則來自兩個常數的相乘。若括號內有負號，可直接把常數視為負數，照同一公式運算。例如： （x－2）（x－5）＝x^2－5x－2x＋10＝x^2－7x＋10。 展開時先完整寫出四個乘積，再合併同類項，可以減少漏項。正負號遵守同號相乘為正、異號相乘為負；所以兩個負常數相乘，常數項為正，但交叉乘積仍可能都是負的一次項。 同類項必須具有相同的字母部分及指數。例如－5x 與－2x 可以合併為－7x；x^2、x 與常數則不能合併。合併時只加減係數，字母與指數保持原樣。 展開結果可用代入法快速驗算：例如代入 x＝0，左右兩邊都應等於常數項；代入 x＝1 或其他簡單數值，左右兩邊的值也必須相同。不符合的選項可以直接刪去。 五、係數比較：相同次方對應相等 若兩個多項式對所有 x 都相等，整理後各同次項的係數必須分別相等。因此，若 x^2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b），先展開右式，就得到p＝a＋b、q＝ab。 例如 x^2＋px＋q＝（x－2）（x＋7），右式展開為 x^2＋5x－14，因此 p＝5、q＝－14，p＋q＝－9。求出係數後，最後仍要依題目指定，計算係數之和、差或其他組合。 若只要求 p＋q，也可利用代入檢查：將 x＝1 代入 x^2＋px＋q，得到 1＋p＋q，所以p＋q＝右側因式乘積在 x＝1 時的值－1。這是利用恆等式求值，務必記得扣掉 x^2 代入後得到的 1。特別地，若右側含有因式（x－1），則 x＝1 時乘積為 0，此時 p＋q＝－1。 常考陷阱 「加法就把次數相加」：錯把多項式相加當成單項式相乘。加減應先看最高次項能否抵消；不同次數相加，結果保留較高次。 「減法就把次數相減」：減號作用在各項係數，不是作用在多項式次數。次數相減是符合條件的多項式除法商式規則。 「乘積次數等於次數相乘」：例如把三次乘二次誤判為六次。正確原因是 x^3×x^2＝x^5，所以應將次數相加。 「有餘式就不能判定商的次數」：只要被除式次數不小於除式，商式次數仍可由兩者次數相減判定；是否整除是另一件事。 「只乘首項與末項」：展開後只留下 x^2 與常數，漏掉兩個交叉乘積。看到結果沒有一次項，應檢查交叉項是否真的相消。 「負負相乘仍為負」：兩個負常數的乘積應為正；若一正一負，常數項才是負。判斷一次項與常數項時，要分別計算符號。 「不同次方也能合併」：x^2、x 與常數不是同類項，不能把係數加總後寫成單一的 x^2 項（例如把 x^2－3x＋2 誤寫成某個 kx^2）。 「括號中的常數直接當成 p、q」：一次項係數要取兩常數之和，常數項要取兩常數之積；最後再確認題目要的是 p、q 本身，還是 p＋q 等組合。 記憶口訣 加減看抵消，乘法次數加；除法求商式，次數作相減。 括號逐項乘，同類再合併；一次看兩數和，常數看兩數積。