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學習重點 掌握小數除法的等值變換：被除數與除數同乘相同的非零數，商不變，餘數則隨之放大相同倍數。 理解直式定位：商的小數點對齊移位後被除數的小數點；餘數的小數點對齊原被除數的小數點，回到原數量的尺度。 能編擬「一位小數除以一位小數、未整除且要求餘數」的生活問題，並完整回答商與餘數的單位。 依情境判斷商的意義：長度、高、寬、倍數可以是小數；可完成的完整份數須取整數，剩下的另計為餘數。 判斷布題是否同時符合算式與指定答案，不能只看題目中的數字能否列成除法。 核心觀念 一、小數除法的移位，是被除數與除數一起改變尺度 計算小數除以小數時，先將除數化為整數。除數有一位小數，就將被除數與除數的小數點都向右移一位，相當於兩者同乘10。因為兩個數以相同比例放大，所以商不變。 例如7.5÷2.2可改用75÷22計算。這表示原來以「1」為單位的數量，改成以「0.1」為單位來計數；原來的7.5是75個0.1，原來的2.2是22個0.1。 被除數與除數的小數位數不必相同。例如6.27÷1.9，除數只有一位小數，因此兩者一起右移一位，改算62.7÷19，商為3.3；驗算1.9×3.3＝6.27。不能為了讓兩數都變成整數而各自移動不同位數。 直式中的商，其小數點要對齊移位後被除數的小數點。移位後的被除數才是目前實際進行除法計算的數，且移位後的商與原式的商相等，所以商的個位、十分位等位值都須依新的小數點定位。若對齊原位置，便可能使商放大或縮小10倍。 二、商不變，餘數卻會隨等值變換改變 有餘數的除法必須符合：被除數＝除數×商＋餘數，且0≤餘數＜除數；若題目要求未整除，則餘數必須大於0。 若原式為a＝b×q＋r，兩邊同乘10，就成為10a＝10b×q＋10r。因此被除數與除數同乘10後，商仍是q，但直式中算出的餘數是原餘數的10倍。 以7.5÷2.2為例，先算75÷22，整數商為3，餘數為9。這個9代表9個0.1，換回原尺度就是0.9，因此原式應記為7.5÷2.2＝3……0.9。 計算階段被除數除數整數商餘數 原數量7.52.230.9 兩數同乘10後752239 所以直式中，餘數的小數點須對齊原被除數的小數點，使餘數回到原來的位值與單位。這不是任意補上小數點，而是將放大後的餘數除以10。即使商算到小數位，道理相同：例如7.5÷2.2商取到一位小數為3.4，直式最後剩下的數依原被除數小數點定位為0.02，驗算2.2×3.4＋0.02＝7.5。 最後一定要用原數驗算：2.2×3＋0.9＝7.5，且0.9＜2.2，才是完整、正確的結果。 申論解釋可歸納為兩句：商對齊新小數點，是因為被除數與除數同乘10，商不變；餘數對齊原小數點，是因為餘數也被放大10倍，必須還原成原來的量，才能符合「原被除數＝原除數×商＋餘數」。 三、如何編擬符合條件的未整除文字問題 布題時，應先設定「總量」與「每份量」，兩者都使用一位小數，再選擇只能計算完整份數的情境，並明確詢問剩餘量。 例如：「有7.5公升果汁，每瓶裝2.2公升，最多可以裝滿幾瓶？還剩多少公升？」這個問題以7.5÷2.2求解，答案是裝滿3瓶，剩下0.9公升。 數值符合：被除數7.5、除數2.2都是一位小數。 確實未整除：裝滿3瓶後仍有剩餘，且剩餘量不足再裝滿一瓶。 問句完整：同時問「裝滿幾瓶」及「還剩多少」，讓求餘數成為必要步驟。 單位清楚：商的單位是瓶，餘數的單位是公升；餘數與被除數表示同一類數量。 申論作答可依序寫出：情境、算式、直式計算過程（標出移位後的小數點與餘數的小數點）、答案（含商與餘數的單位）與驗算，最後說明小數點定位的理由。若只問「每人分到多少」且量可以繼續細分，通常會引導學生求小數商，不能呈現必須求餘數的情境。 四、布題須同時符合算式與商的情境意義 同一個除法算式，可以出現在不同情境中，但計算得到的小數商，不一定能直接作為最後答案。判斷時要看問題要求的是連續量、倍數，還是完整份數。 情境類型除法關係商的意義與限制 長方形求寬面積÷長＝寬寬是連續量，可以用小數公尺表示。 平行四邊形求高面積÷底＝高高是連續量，可以用小數公尺表示。 比較兩條彩帶長度比較量÷基準量＝倍數倍數可以是小數，以「倍」表達，不附公尺等長度單位。 用材料包裝禮物總長÷每份所需長度問可包裝幾份，須取可完成的整數份數，剩餘材料另計。 以「6.27÷1.9＝3.3，答：3.3」為例：求長方形的寬或平行四邊形的高得3.3公尺、求紅色彩帶是黃色彩帶的3.3倍，都合理；但緞帶6.27公尺、每1.9公尺包裝1份禮物，只能包裝3份，剩下6.27－1.9×3＝0.57公尺，答案不是3.3份，因此這種布題不符合指定答案。 幾何情境也要檢查對應關係：平行四邊形的面積是底×高，因此面積除以底得到的是對應的高，不能解釋成斜邊長。 常考陷阱 「算式列得出來，布題就適合」：還要確認指定答案能否直接回答問題。數值計算正確，不代表情境解釋正確。 「所有數量都能用小數回答」：長度與倍數可以是小數；問完整包裝份數時，須依每份所需材料判斷能完成幾份。 「商是3.3，就四捨五入成3份」：完整份數是捨去不足一份的部分，不是四捨五入。即使商接近下一個整數，材料不足仍不能多算一份。 「3.3份表示剩下0.3公尺」：商的小數部分是相對於一份的比例，不能直接當作剩餘長度。剩餘量應用「總量－每份量×完整份數」求得，例如剩0.57公尺。 「移位後算出餘9，原式就餘9」：忘記將餘數換回原尺度。被除數與除數同乘10後，餘數也放大10倍，須除以10還原。 「商和餘數都對齊新的小數點」：商依移位後的被除數定位；餘數依原被除數定位，兩者不能混用同一規則。 「布題只問分到多少」：未整除的求餘數問題，須是只能取完整份數的情境，並明確問「還剩多少」，否則學生會繼續除出小數商。 記憶口訣 除數化整，同移同倍；商看新點，餘回原位。長度倍數可小數，完整份數看足不足；原式乘回加餘數，餘數還要比除數小。