折扣列式與分數轉移

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建立於 2026年11月10日

學習重點 以同一個未知數表示相關價格，先處理「貴多少、便宜多少」的逐層價差，再計算優惠後的費用。 區分「拿到的數量」與「實際付費的數量」，依買贈規則決定列式中的係數。 折扣題先算買贈後的消費小計，再判斷是否達到滿額門檻，最後乘上折扣率；解出答案後要代回檢查門檻。 分數轉移題要掌握每次轉移的計算基準：第二次的「全部錢」包含剛收到的金額。 善用金額守恆、列表與逆推，求原有金額與差額。 核心觀念 一、先設基準價格，再表示其他商品 當數種商品的價格有固定差額時，選擇題目指定的商品單價作為未知數，其他價格都以同一未知數表示。若招牌三明治每個為 x 元，火腿蛋土司比它貴 10 元，漢堡又比火腿蛋土司貴 5 元，則可整理如下： 商品未優惠單價判斷方式 招牌三明治x作為價格基準 火腿蛋土司x＋10比基準多 10 元 漢堡x＋15比基準多 10＋5 元 奶茶10已知固定單價 沒有任何優惠時，2 個漢堡、4 個招牌三明治及 3 杯奶茶的總價為 2(x＋15)＋4x＋3×10＝6x＋60。這是原價總額，不是最低付款金額，必須再依附表的優惠規則調整。 二、多項優惠：先扣贈品，再打折，比較出最低金額 題目問「最少付了多少元」，表示要在合法範圍內把優惠用到最多。作答步驟： 先確認哪些商品是贈品（不用付錢），把它們從計價數量中扣除。 把需付費的商品寫成「數量×單價」加總，得到折扣前小計。 若另有打折優惠，再把小計乘上折扣比例（打五折乘 1/2）。 兩項優惠可否併用、適用哪些品項，以附表文字為準；可以併用時，通常先扣贈品再打折最划算。 以本單元早餐店的正確答案 3x＋20 檢驗：3x＋20＝(6x＋40)×1/2。6x＋40 比原價總額 6x＋60 少了 20 元，正好是 2 杯奶茶免費，只剩 1 杯奶茶需付費；接著把 2(x＋15)＋4x＋10＝6x＋40 整筆再打五折，得 3x＋20。也就是說，最低付款＝「扣掉贈品後的付費小計」×折扣比例。 各選項的來源可以這樣辨識： 算式代表的算法 6x＋60完全沒用優惠的原價總額 6x＋40只扣贈品，沒有打折 3x＋30只打五折，沒有扣贈品 3x＋20先扣贈品、再整筆打五折（最低） 三、買滿送贈：決定計價杯數 「買滿 3 杯送 1 杯」表示付 3 杯的錢可拿到 4 杯。帶走 5 杯時，可拆成「付費 3 杯＋贈送 1 杯＋另買 1 杯」，所以實際付費 4 杯，不能直接把帶走的杯數乘上單價。 買贈只改變符合條件商品的付費數量，蛋糕等其他商品仍照原價計入小計。 四、滿額折扣與一元一次方程式 打九折就是支付折扣前金額的 90%，也就是乘上 0.9。設買贈後、折扣前的小計為 S，若規則是滿 500 元打九折，則 S≥500 時付款為 0.9S，S＜500 時付款為 S。 設咖啡促銷單價為 x 元，帶走 5 杯、付費 4 杯，另有 200 元蛋糕，故小計為 4x＋200。若沒有打折，小計就等於實付 540 元，但 540 已達 500 元門檻、應該要打折，互相矛盾，因此必須用九折列式： 0.9(4x＋200)＝540 4x＋200＝600 4x＝400 x＝100 代回檢查：小計 4×100＋200＝600 元，達到門檻；600×0.9＝540 元，符合。也可以用選項逐一代入檢查： 單價小計 4x＋200是否打折實付 72488未滿 500，不打折488 80520打九折468 85540打九折486 100600打九折540 五、連續分數轉移：每一步都更新金額 設甲原有 A 元、乙原有 B 元。甲先把自己錢的 a 分給乙；乙收到後，再把當時全部金額的 b 分給甲（a、b 為題目給的分數）。 時間甲的金額乙的金額 轉移前AB 甲給乙之後(1－a)AB＋aA 乙再給甲之後(1－a)A＋b(B＋aA)(1－b)(B＋aA) 關鍵是乙第二次給出的錢為 b(B＋aA)，因為「拿到錢後的全部」已包含甲轉入的款項；乙最後留下的是全部金額的 1－b。 若甲原有 300 元、乙原有 x 元，乙現在的金額為(1－b)(x＋300a)：先算甲轉入 300a 元，加上乙原有的 x 元，再乘上乙保留的比例 1－b，展開後即為「(1－b)x＋常數」的形式。選項中常見的錯誤是把 x 單獨乘 (1－b) 卻忘了乘到 300a，或漏掉轉入金額。 六、最後金額已知：用守恆與逆推求原有差額 兩人之間只有互相轉移，總金額不變。若最後各有 360 元，原來總額就是720 元。 從最後一步倒推最省力： 乙最後的 360 元是第二次轉移前的 (1－b)，所以轉移前乙有 360÷(1－b) 元。 乙給甲的錢＝360÷(1－b)－360。 甲在收到這筆錢之前有 360－(乙給的錢)，這是甲原有的 (1－a)，再除以 (1－a) 得甲原有 A。 乙原有 B＝720－A，差額取較多者減較少者。 示範（數字僅供演練方法）：若 a＝1/5、b＝1/4，則乙第二次轉移前有 360÷3/4＝480 元，給甲 120 元；甲收到前有 360－120＝240 元，即原有的 4/5，故 A＝240÷4/5＝300，B＝720－300＝420，差額 120 元。實際作答時把題目的分數代入同樣步驟即可。 常考陷阱 價差漏加一段：漢堡比火腿蛋土司貴 5 元，漢堡不是 x＋5，而是 x＋10＋5＝x＋15。 只用一種優惠：6x＋40（只扣贈品）與 3x＋30（只打折）都不是最少；題目問「最少」要把可併用的優惠都用上。 贈品也被打折計價：免費的品項先扣掉，不要先把整筆打折再扣半價的贈品。 拿到 5 杯就計價 5 杯：寫成 0.9(5x＋200)＝540 會得 80，是錯誤選項；實際付費只有 4 杯。 忘記打折：寫成 4x＋200＝540 得 85，但此時小計 540 已達門檻、應打九折，實付會是 486，不符題意。 九折乘 0.1：0.1 是省下的比例，0.9 才是實付比例。 只替部分商品打折：「消費總額」打九折要寫成 0.9(4x＋200)，括號包含蛋糕。 第二次轉移仍以原有金額為基準：寫成 bB 或 bx 會漏掉剛收到的錢，正確基準是 B＋aA 或 x＋300a。 給出與保留混淆：給出 b，留下 1－b；求乙最後金額要乘 1－b，而不是 b。 逆推仍用乘法：已知剩下多少求原來多少，要除以保留比例。 最後相等就以為原來相等：轉移會改變各自持有量，只有總額守恆可直接使用。 記憶口訣 價差逐層加；先扣贈品再打折，兩種優惠一起用才最少。 買贈算付費，滿額看小計，答案代回驗門檻。 轉一次、更新一次；給出乘分數，留下乘補數；正推乘比例，逆推除比例。