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學習重點 比較兩數時，先確認正負、位值與運算結果，再用「＞、＝、＜」表示大小關係。 乘法、除法會讓數值變大或變小，要看乘數、除數與 1 的關係，不能只看運算符號。 分清題目問的是「正確的大小關係」，還是「有特定迷思的學童會怎麼答」，兩者的推理方式不同。 判讀數線時，相同距離代表相同數值差；每一小格的單位要由已知標示和間隔數反推。 推論學童的一致性錯誤時，要找出一套能同時解釋所有已知作答的錯誤規則，再用同一規則推出目標位置。 核心觀念 一、數的大小比較：先看數值，再填符號 「甲＞乙」表示甲比乙大；「甲＜乙」表示甲比乙小；「甲＝乙」表示兩者數值相同。不等號的開口朝向較大的數，尖端朝向較小的數。左右交換時，不等號方向也要跟著換，例如 8＞5 與 5＜8 表示同一個大小關係。 比較正整數時，先看位數；位數相同，再從最高位逐位比較。比較小數時，先比整數部分，再依十分位、百分位的順序比較；小數末尾補零不改變數值，例如 0.5＝0.50。比較分數可以通分；分母都是正數時，也可以用交叉相乘比較。如果比較的是算式，要先想清楚運算會讓數值變大還是變小，不能只看數字外觀。 有負數時，數線上愈右邊的數愈大：正數大於零，零大於負數。兩個負數相比，絕對值較大的反而較小，例如 −8＜−3。 二、乘法不一定變大：看乘數與 1 的關係 以下都假設原數 a＞0、乘數 k＞0。a 乘以 k，就是把原數變成 k 倍，所以要比較 k 與 1 的大小。 乘數條件與原數比較例子 k＞1a×k＞a8×1.5＝12＞8 k＝1a×k＝a8×1＝8 0＜k＜1a×k＜a8×0.5＝4＜8 可見「愈乘愈大」只在部分情況成立。學童把「乘以大於 1 的整數」的經驗過度推廣，就會以為乘以小於 1 的小數或真分數，結果也一定變大。 三、除法不一定變小：看除數與 1 的關係 以下都假設被除數 a＞0、除數 d＞0。除以 d 等於乘以 d 的倒數，所以除數小於 1 時，商反而比原數大。 除數條件與原數比較例子 d＞1a÷d＜a8÷2＝4＜8 d＝1a÷d＝a8÷1＝8 0＜d＜1a÷d＞a8÷0.5＝16＞8 舉例來說，8 公尺的繩子每 0.5 公尺剪成一段，可以剪成 16 段。這個情境可以幫助理解：除以小於 1 的正數，商會比被除數大。另外要記住，除數不能是零。原數是零時，乘以任何數仍是零，零除以非零的數也仍是零，上表嚴格大於、小於的結論不能直接套用。 四、迷思作答的推論：照學童的錯誤規則走 題目問「有『愈乘愈大，愈除愈小』迷思的學童會怎麼填答」，考的是預測錯誤的思考，而不是正確計算。這類學童不管乘數、除數是否小於 1，一律認為乘完比原數大、除完比原數小。 比較式的左右配置依此迷思會填入的符號 a×k □ a＞ a □ a×k＜ a÷d □ a＜ a □ a÷d＞ 上表只說明迷思會怎麼影響填答，不是成立的數學規則。作答步驟如下： 逐題判斷是乘法還是除法。 依迷思認定運算結果「變大」（乘）或「變小」（除）。 看運算結果放在比較式的哪一邊，再決定符號。 題目會故意把乘、除與左右位置交錯排列，形成「＞、＜、＞、＜」這類交替的答案。完全不用算出數值，也不要被乘數、除數小於 1 的正確結果干擾。 五、數線刻度：距離與數值差必須一致 標準數線用固定單位表示數值，向右數值增加，向左數值減少。相同長度的區間代表相同的數值差。兩個已知位置標示為 a、b，從 a 向右到 b 共跨 n 個等長小格，則每小格代表「（b−a）÷n」。 例如，標示 4 與 10 的兩個位置相隔 3 小格，每格就代表 2；從 10 再向右 2 格是 14。要數的是間隔數：從第 1 條刻線走到第 4 條刻線，共跨 3 格，不是 4 格。 刻線沒標數字，不代表該位置沒有數值；每格也不一定代表 1。每格多少，要由已知數值和實際間隔一起決定。 六、一致性錯誤：找出規則，再推目標點 「一致性錯誤」是指學童每次都用同一套錯誤規則作答，而不是隨機亂寫。數線題常見的錯誤規則有： 錯誤類型學童的想法作答特徵 誤認每格單位不管標示，把每格都當成 1（或其他固定值）寫出的數與「格數×自訂單位」相符 數刻線不數間隔把起點那條刻線也算進去每點都比正確值多一個單位 只看最近的標示從某個標示數字開始逐格加 1以該標示為起點連續數下去 忽略不同區段的分割把某區段的每格單位套到細分不同的區段某區段答對，另一區段一致偏差 推論步驟如下： 標出學童已寫數字的點，從圖上數出每個點距離起點（或已知標示）各有幾格。 依序試上表的錯誤規則，找出能同時解釋所有已知作答的那一套。只符合一個點的規則要淘汰。 用同一規則、同樣的計數方式，算出目標點的格數，得出學童會寫的數。 例如，學童在兩點寫出的數相差 18，而圖上這兩點相隔 9 格，就可以推知學童把每格當成 2。再看目標點與已知點相隔幾格，乘以 2 加上去即可。判斷關鍵是學童的數字差 ÷ 圖上格數＝學童自認的每格單位，再檢查起點是否對得上。 常考陷阱 用正確計算取代迷思預測：題目問「學童會怎麼答」時，要照指定的迷思推論。選項中依正確運算得出的組合，正是誘答。 不看比較式左右位置：「運算結果比原數大」不代表一定填「＞」。結果放在右邊時，要填「＜」。 把「乘變大、除變小」當通則：問實際大小時，正數要先比乘數、除數與 1 的關係，小於 1 時結論相反。 漏掉等於：乘以 1、除以 1 都維持原值。 把刻線數當格數：求每格單位時，分母是跨越的間隔數，不是看到的刻線總數。 認定每格都加 1：等距只保證數值差固定，不保證差為 1。 推論途中換規則：一致性錯誤必須同時符合全部已知填答。選項中「用正確刻度算出的值」或「只符合其中一點的推算值」，都是陷阱。 記憶口訣 迷思不用算：乘就大、除就小，結果在左照填、在右反過來。 數線先數間隔，數字差除格數，得出自認單位，同一規則推到底。