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學習重點 判斷文字題是否結構相似，要看數量關係、未知數角色與解題策略，不能只看故事背景或關鍵字。 判定幾步驟問題，應拆出從已知條件求得答案所需的基本運算，並分清楚先後相依與可分別計算的部分。 辨識加減法文字題的語意結構與未知數位置，理解同樣的減法算式，可能有不同的解題難度。 比較試題難度時，要考慮正向求值或逆向推理，以及學生已具備的概念與策略。 核心觀念 一、結構相似性：換情境，保留數量關係 解題教學中的結構相似性原則，是選用與原題數學結構相同、但情境不同的問題，讓學生練習把已學方法遷移到新情境。判斷重點是：「已知哪些量？要求哪些未知量？各量如何連結？原來的方法能否沿用？」 以雞兔同籠為例，核心不是動物名稱，而是兩類對象的數量都未知，已知兩類的總個數，以及依不同單位量累計而成的總量。若兩類數量為 x、y，每個對象的單位量分別為 a、b，則可表示為 x＋y＝總個數、ax＋by＝總量，其中 a、b 不同。 候選布題的條件是否與雞兔同籠結構相似 兩種票價，已知售出總張數與總收入，求各售出幾張相似：總個數＋依不同單位量累計的總量，兩類數量皆未知 兩種硬幣，已知總枚數與總金額，求各幾枚相似：同樣可用假設法求解 只給兩種物品的總價，缺少總個數等條件不相似：條件不足以確定兩類數量 已知兩數的和與差，求兩數不相似：屬和差問題，數量關係與解法不同 只是把雞、兔的數量相加或相乘求總數不相似：雖然情境相同，但只是單純計算，沒有兩個未知量 國小可使用假設法：先假設全部都是其中一類，算出假設總量與實際總量的差，再除以每替換一個所增加或減少的量，求出另一類的個數，最後求剩餘個數。能否沿用這套推理，是檢查結構相似的重要依據。挑選布題時，應逐一核對每個候選題的已知條件與未知量，選出能完整保留上述結構、只更換情境的題目。 二、解題步驟數：依必要運算判定 文字題的步驟數，應依一般解法中取得答案所需的基本運算次數判定。讀題、畫圖、設未知數與寫答句，不各自算成一個運算步驟；把多個運算合寫成綜合算式，也不會因此變成一步驟。 問題結構必要運算流程步驟數 由正方形周長求扣除部分後的剩餘面積周長÷4求邊長；邊長×邊長求總面積；總面積－已使用面積三步驟 由兩種商品各自的總價與盒數求單價差第一種總價÷盒數；第二種總價÷盒數；較高單價－較低單價三步驟 正方形的解題流程具有先後相依關係：必須先知道邊長，才能求面積，再求剩餘部分。例如周長120公分，邊長為30公分，面積為900平方公分，再減去已著色的面積。要注意周長是長度，面積是平面大小，不能直接將周長減去已著色面積。 單價比較則有兩條可分別進行的計算路徑：先各求一種商品的單價，再合併比較。例如105÷5＝21、248÷8＝31，再算31－21＝10。雖然兩個除法可以同時進行，仍是兩次必要運算，加上最後的減法，共三步驟。不能直接比較總價，因為購買盒數不同。 三、加減法文字題：語意與未知數位置決定策略 加減法文字題常見的結構包括改變、合併、比較與等化。改變是數量經增減而變動；合併是部分與全體的關係；比較是兩量相差多少；等化則是某一量需增減多少，才能與另一量相等。 結構與未知量數量關係往上數的使用方式 增加型改變，增加量未知原有量＋未知增加量＝結果量由已知原有量往上數到結果量，計算增加多少。故事順序與往上數方向一致，最容易。 合併型，部分量未知已知部分＋未知部分＝全體由已知部分往上數到全體，求出缺少的部分。 比較型，差量未知較小量＋差量＝較大量由較小量往上數到較大量，求出相差多少。 等化情境，原有量未知未知原有量＋已知增加量＝目標量原有起點未知，無法直接依故事順序從原有量往上數。 往上數是從一個已知數開始，逐一或分段增加到另一個已知數，並追蹤增加的數量。數的是「增加幾次」，不是把起點也算進去。例如由18數到23，增加量是5。 加減互逆則是理解 a＋b＝c 時，可用 c－a＝b 或 c－b＝a 求未知量。因此，具有互逆概念的學生，能把「原來多少，再增加一個已知量，最後達到目標」轉成減法，或重新組織為可往上數的形式。 若學生只有往上數策略，又缺乏加減互逆概念，原有量（起點）未知的情境最難：故事要求從未知起點出發，學生還必須轉換數量關係，才有辦法使用熟悉的策略。相對地，增加量未知、部分量未知、差量未知的題目，都能直接從一個已知數往上數到另一個已知數。不能只因各題最後都能寫成相同的減法，就認定一樣容易。 四、正向與逆向思考：相同關係也有不同負荷 一般角柱有兩個底面；若底面是 n 邊形，就有 n 個側面，因此總面數＝n＋2。判斷時要分清楚底面的邊數、側面的個數與全部面的個數。 已知角柱名稱求總面數，是由形體判定底面邊數，再加上兩個底面，屬於正向求值，例如五角柱有5＋2＝7個面。已知總面數反求角柱名稱，則要先扣除兩個底面，推得底面邊數，再連結到角柱名稱，屬於逆向推理，例如7個面的角柱，7－2＝5，是五角柱。 在其他條件相近時，逆向題通常較難，因為學生除了記得關係，還要反向使用關係並辨識形體，認知負荷較高。作答時應說明：兩題考的是同一個關係，但逆向題需由結果反推條件，因此較難。不過，難度比較仍應以學生的學習經驗為背景，不宜宣稱逆向題對所有學生都必然較難。 常考陷阱 「故事相同就是結構相似」：同樣談動物，也可能只是單純加總；換成票券或物品，反而可能完整保留雞兔同籠的結構。要核對條件與未知量。 「有兩個未知數就像雞兔同籠」：已知和與差的和差問題，雖然也有兩個未知數，但數量關係與解法不同。 「答案相同、都用減法，所以難度相同」：算式相同不代表語意相同；未知量位於起點、變化量或差量，對策略使用的要求不同。 「看到『再增加』就一定用加法」：若原有量未知，可能須由結果反推。關鍵字只能輔助理解，不能取代數量關係。 「比較型最難」：比較型雖然要判斷誰多，但仍可從較小量往上數到較大量；對只會往上數、沒有互逆概念的學生，起點未知的題目才最難。 「往上數就是把兩個數加起來」：由小數數到大數是在求差量，必須追蹤增加多少，不能誤算為兩量的總和。 「寫成一個算式就是一步驟」：應拆開必要運算；兩個除法加一個減法，仍是三步驟。 「兩條路徑同時算，只算一步」：步驟數看必要運算次數，不只看解題流程分成幾層。 「正方形面積只要兩步驟」：題目給的是周長，必須先除以4求邊長，再求面積，最後扣除，共三步驟。 「知道面數就直接用同一數字命名角柱」：總面數包含兩個底面，必須先減2，才得到命名所需的底面邊數。 「逆向題較難，只因用了減法」：主要原因是從結果反推條件、轉換關係與辨識形體的認知負荷，不能簡化成加法容易、減法困難。 記憶口訣 結構看關係，遷移換情境；步驟拆運算，合寫不減算。 先找未知在哪裡，起點未知最難數；角柱側面看底邊，全部面數再加二。