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學習重點 將根式改寫成有理數指數冪，先統一底數，再依底數大於 1 或介於 0 與 1 之間，判斷指數與數值的大小關係；無法統一底數時，改用「同乘共同次方」消去根號再比較。 整數也要一起改寫成根式或同底數冪，才能和其他根式放在同一標準下排序。 掌握平方比較法的使用條件：確認兩數皆為非負數後，才能直接用平方後的大小判斷原數大小。 利用共軛式將分母有理化，並觀察化簡後的式子是否更容易比較或估計。 以相鄰整數的平方夾住根號內的數，求出無理數的整數部分，再用原數減去整數部分求小數部分。 核心觀念 一、根式改寫為有理數指數冪 對正數 x，n 次根號可寫成分數指數：ⁿ√x＝x 的 1/n 次方；ⁿ√(xᵐ)＝x 的 m/n 次方，其中 m、n 為正整數。遇到不同次方根的大小比較，可先觀察根號內的數能否寫成同一底數的整數次方。 例如 √8＝2 的 3/2 次方，³√16＝2 的 4/3 次方。因為底數 2 大於 1，且 3/2＞4/3，所以 √8＞³√16。比較分數指數時，可以通分，或在分母皆為正數時交叉相乘，避免依賴小數近似值。 共同底數的範圍指數與數值的關係比較原則 x＞1指數越大，數值越大若 r＞s，則 xʳ＞xˢ 0＜x＜1指數越大，數值越小若 r＞s，則 xʳ＜xˢ x＝1各次方的值皆為 1不能由指數大小分出高低 如果要比較三個以上的數，應先把所有數改寫完畢，再一次排列指數。整數也可以寫成相同底數的次方，例如 4＝2²、8＝2³，不要只處理有根號的項目。 二、無法同底時：同乘共同次方（統一根指數） 若根號內的數無法化成同一底數，可取各根指數的最小公倍數 k，把每個正數都取 k 次方，根號便全部消失，再比較整數大小。因為對正數而言，k 次方不改變大小順序。 例如比較 √5 與 ³√11：根指數 2 與 3 的最小公倍數為 6，取 6 次方得 (√5)⁶＝5³＝125，(³√11)⁶＝11²＝121。因為 125＞121，所以 √5＞³√11。 整數與根式比較時，同樣把整數寫成根式：例如 2＝⁴√16，與 ⁴√15 比較，因 16＞15，故 2＞⁴√15。又如 5＝√25＝³√125，可依需要改寫成與其他根式相同的根指數。三數排序時，把三個數都化成「同一根指數」或「同一次方後的整數」，再一起排列，最不容易出錯。 三、平方根與含根號分數的大小比較 平方比較法：若 A、B 皆為非負數，則 A＞B 與 A²＞B² 等價。例如比較 √7 與 5/2，可以比較 7 與 25/4；因為 28/4＞25/4，所以 √7＞5/2。若式子有負號或相減，必須先判斷正負，不能直接平方。 交叉相乘法：比較 A/B 與 C/D，當 B、D 皆為正數時，只須比較 AD 與 BC。若分母正負尚未確認，應先整理符號；乘除負數時，不等號方向必須反轉。 分母觀察法：正分數的分子相同時，分母越大，分數越小。例如 1/(√3＋1)＜1/(√2＋1)，因為左式分母較大。若分子也不同，就不能只看分母決定大小。 估算法：由 2²＜7＜3²，可知 2＜√7＜3。若這個範圍已能判斷大小，就不必求更精細的近似值；若兩數落在相同區間，則須縮小估計範圍，或改用精確運算。 先有理化再比較：選項若同時出現「分母含根號的分數」與「一般根式」，先把每個分數有理化，化成「整數＋根式」或「根式＋根式」的形式，再用估算或平方比較，最能看出誰最大。 四、分母有理化：利用共軛式消去根號 分母有理化是將分式改寫為分母不含根號、數值相同的形式。分子與分母必須同乘同一個非零式子，不能只改分母。 分母形式同乘的式子化簡依據 √u，u＞0√u√u×√u＝u √u＋√v√u－√v(√u＋√v)(√u－√v)＝u－v √u－√v√u＋√v(√u－√v)(√u＋√v)＝u－v √u－a（a 為整數）√u＋a(√u－a)(√u＋a)＝u－a² 後幾種形式須確保原分母與所乘的共軛式不為零。若共軛式恰為零，就不能用它作為擴分因子。 例如 1/(√6－√5)，分子、分母同乘 √6＋√5，分母成為 6－5＝1，因此原式＝√6＋√5。又如 2/(√3－1)，同乘 √3＋1，分母為 3－1＝2，與分子約分後得 √3＋1。當分母平方差恰好等於 1 或能與分子約分時，化簡會特別乾淨，是值得優先觀察的結構。 有理化後仍要觀察整個式子的大小。若得到「較大根式減較小根式」，不能只看第一項；也可以反向寫成分數，例如 √(t＋1)－√t＝1/(√(t＋1)＋√t)，其中 t≥0。由右式可知，t 越大，分母越大，整個差值越小。 五、整數部分與小數部分 若整數 n 滿足 n≤x＜n＋1，則 x 的整數部分為 n，小數部分為 x－n。對無理數而言，不會等於整數，因此可寫成 n＜x＜n＋1，其小數部分必定介於 0 與 1 之間。 標準步驟：①有理化化簡 → ②用相鄰平方數夾出整數部分 n → ③小數部分＝化簡後的式子－n。 例如 x＝2/(√3－1)，有理化得 x＝√3＋1。由 1＜√3＜2，得 2＜x＜3，整數部分為 2，小數部分為 (√3＋1)－2＝√3－1。注意小數部分是「化簡後的 x 減去整數部分」，結果呈現「根式減整數」的形式，且必介於 0 與 1 之間。 再如 x＝1/(√6－√5)＝√6＋√5。由 √6＞2、√5＞2，可得 x＞4；又因 √6＜5/2、√5＜5/2，所以 x＜5。因此整數部分為 4，小數部分為 √6＋√5－4。 判斷上下界時，界線必須足以把原數夾在相鄰的兩個整數之間。僅知道 4＜x＜6，仍無法確定整數部分是 4 或 5。 若遇到負數，須依 n≤x＜n＋1 判斷，不能直接刪除負號後處理。例如 −2＜−√3＜−1，其整數部分為 −2，小數部分為 −√3－(−2)＝2－√3。 常考陷阱 看到根號次數較大，就判定數值較大：根號次數不是唯一判準，根號內的數也會影響結果。應先改成同底數冪，或同乘共同次方後再比較。 整數項不改寫就直接排序：整數與根式比較時，要把整數也化成同根指數的根式（如 5＝√25＝³√125），否則容易憑感覺排錯順序。 所有底數都套用「指數越大，數越大」：這只適用於底數大於 1；底數介於 0 與 1 之間時，大小關係相反。 未判斷正負就平方：例如 −3＜2，但平方後 9＞4。平方比較法須先確認兩數皆為非負數。 把根號拆開：√(u＋v) 通常不等於 √u＋√v；也不能把 √u＋√v 直接合併成 √(u＋v)。 共軛式乘法的符號寫錯：(a＋b)(a－b)＝a²－b²，分母應是兩平方相減，不能寫成相加，也不能任意顛倒相減順序。 有理化時只乘分母：分子、分母必須同乘相同的非零式子，才能維持原值；化簡後也別忘了與分子約分。 以「分母含減號」判斷分數較小：兩個相近正數相減，可能形成很小的正分母，使整個分數很大；應先有理化或估計。 未有理化就求小數部分：直接拿原分式去減整數，或用原分母中的根式去估計，都容易選錯。必須先化簡成不含根號分母的形式。 小數部分一律減 1，或減錯整數：應減去實際求出的整數部分。選項常同時列出「根式－1」「根式－2」「根式＋1」等相近寫法，要先驗證結果介於 0 與 1 之間。 只靠粗略近似值比較相近數：四捨五入可能掩蓋差異。能用同底數、共同次方、平方或有理化精確比較時，應優先採用。 記憶口訣 同底先看底，異根取公倍；平方先看號，分母配共軛；先夾出整數，小數再相減。 同底後先判斷底數範圍；根指數不同就取最小公倍數次方消去根號；平方前先確認正負；有理化利用平方差；求小數部分先有理化、夾出整數部分，再相減並確認結果介於 0 與 1。