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學習重點 熟記二次方程式的根與係數關係：兩根之和為一次項係數的相反數除以最高次項係數，兩根之積為常數項除以最高次項係數。 遇到兩根相差固定數的題型，先用「根的和」求出兩根，再用「根的積」求常數項。 處理「看錯係數」問題時，辨認沒有看錯的係數，分別保留正確的根和或根積。 判斷整數根是否存在，可利用整數因數配對，或檢查判別式是否符合整數根條件。 核心觀念 一、根與係數關係：先看方程式的標準形式 設二次方程式 Ax²＋Bx＋C＝0，且 A≠0，兩根為 α、β。由 A(x－α)(x－β)＝Ax²－A(α＋β)x＋Aαβ，比較係數可得： 兩根之和：α＋β＝－B／A。 兩根之積：αβ＝C／A。 本單元常見最高次項係數為 1 的形式：x²＋bx＋c＝0。此時兩根之和為－b，兩根之積為 c。計算前應先把所有項移到同一邊，整理成右邊等於 0 的形式，才能正確讀取係數。 反過來，若已知兩根的和為 S、積為 P，則最高次項係數為 1 的方程式為x²－Sx＋P＝0。注意一次項寫的是「根和的相反數」，常數項才直接等於根積。 二、兩根相差固定數：以根和建立一次方程式 若兩根表示為 t 與 t＋d，其中 d 為已知數，則兩根之和為 t＋(t＋d)＝2t＋d。設由係數讀出的根和為 S，即可列出： 2t＋d＝S，因此 t＝(S－d)／2。 求得 t 後，另一根就是 t＋d。如果還要求常數項，才進一步使用兩根之積。對 x²＋bx＋k＝0 而言，有 k＝t(t＋d)。 例如，某方程式的兩根和為 8，兩根為 t、t＋4，則 2t＋4＝8，得到 t＝2，另一根為 6，根積為 12。若根和為負數，也照同樣方式列式，不必另換方法：例如一次項係數為＋6，根和為－6，兩根為 t、t＋2，則 2t＋2＝－6，t＝－4。 未知的常數項通常不妨礙先求兩根。題目若只問 t，已知根和與根差便足夠；不必先求 k，也不必把兩根分別代入原式解聯立方程式。 三、看錯係數：保留沒看錯的資訊 對原方程式 x²＋ax＋b＝0，一次項係數 a 控制根和，常數項 b 控制根積。若解題者只看錯其中一個係數，且其餘計算正確，所得兩根仍保留另一個正確係數的資訊。 看錯的位置仍正確的資訊可反推的原係數 看錯 a常數項 b 沒看錯，根積仍正確b＝所得兩根之積 看錯 b一次項係數 a 沒看錯，根和仍正確a＝－（所得兩根之和） 作答時，先從「看錯 a」者取得原來的 b，再從「看錯 b」者取得原來的 a，便能重建原方程式。兩人解出的根屬於不同的方程式，不能任意各挑一根，拼成原方程式的兩根。 例如，看錯一次項係數者得到兩根－2、5，可知原常數項為－10；看錯常數項者得到兩根－6、3，根和為－3，可知原一次項係數為 3。原方程式因此為 x²＋3x－10＝0，再分解成 (x＋5)(x－2)＝0，求得正確兩根為－5、2。 選項常同時列出 a 值、b 值、原方程式與正確兩根，四者要分別核對；最後把求得的兩根代回檢查「和＝－a、積＝b」，可一次排除符號錯誤的選項。 四、整數根存在性：根和、根積必須同時成立 若方程式為 x²－sx－N＝0，其中 s、N 均為正整數，則兩根和為 s，積為－N。因為根積為負，兩根必定一正一負；又因根和為正，所以正根的絕對值較大。 設負根為－m、正根為 n，其中 m、n 為正整數，則 n－m＝s，且 mn＝N。因此判斷方法是：找出 N 的正整數因數配對，檢查兩因數之差是否等於 s。 例如，若根和為 5、根積為－24，24 的正因數配對有 1 與 24、2 與 12、3 與 8、4 與 6；其中 3 與 8 的差為 5，故兩根可取－3、8。 也可令正根為 m＋s，得到 N＝m(m＋s)。這表示 N 必須能寫成「兩個相差 s 的正整數之積」。選項即使已寫成質因數連乘，也要重新分組，不能只比較列出的相鄰質因數。 快速估算：兩個相差 s 的數相乘，兩數會落在 √N 的兩側、各距約 s／2。先估 √N，再在附近試幾組相差 s 的整數即可。例如 s＝7、N＝330，√330 約 18.2，試 15×22＝330 成立，兩根為－15、22；若 N＝210，√210 約 14.5，附近 11×18＝198、12×19＝228 都不等於 210，故不可能。 五、用判別式交叉檢查整數根 對整數係數方程式 x²＋bx＋c＝0，解為 x＝(－b±√D)／2，其中 D＝b²－4c。要有整數根，D 必須是非負完全平方數，而且－b 與 √D 必須同奇偶，使分子能被 2 整除。 在 b、c 都是整數的前提下，若 D 是完全平方數，同奇偶條件會自動成立；解題時仍可直接檢查除以 2 後是否為整數。對 x²－sx－N＝0，判別式為 s²＋4N，兩根為 (s±√(s²＋4N))／2，可作為因數配對法的驗算。例如 s＝7、N＝330，D＝49＋1320＝1369＝37²，兩根為 (7±37)／2，即 22 與－15。 常考陷阱 把一次項係數直接當根和：x²＋bx＋c＝0 的根和是－b。一次項係數為正時，根和為負；一次項係數為負時，根和為正。 常數項漏看負號：常數項若為－N，根積就是－N。N 為正數時，兩根異號，不可能同為正整數。 把 t＋(t＋d) 算成 t＋d：兩根相加有兩個 t，應為 2t＋d。求出 t 後，也要確認題目問的是 t，還是另一根 t＋d；選項常把另一根或差一個符號的值放進去。 看錯一次項係數，卻拿根和反推原係數：看錯哪個係數，與該係數對應的根和或根積就不能直接沿用；應取另一個未看錯係數所保留的資訊。 反推係數時符號弄反：a 等於根和的「相反數」，b 則直接等於根積（含正負號）。常見錯誤選項正是 a、b 的正負號寫反，或把常數項寫成正數。 只符合根積便認定是答案：整數因數配對還必須符合指定的根和。積為負時，配對兩個正因數後要檢查「差」，並正確配置正負號。 把判別式大於等於 0 當成整數根條件：D≥0 只保證有實根；要判斷整數根，還須確認完全平方數與整除條件。 重建方程式時再次寫錯符號：先寫出 x²－（根和）x＋（根積）＝0，再整理正負號，最後用所得兩根的和、積驗算。 記憶口訣 「根和反號，根積照抄；首項非一，兩者都除。」根和要取一次項係數的相反數；根和、根積都要除以最高次項係數。 「錯一次，留根積；錯常數，留根和。」處理看錯係數，專取沒有看錯的資訊。 「異號看差，同號看和；配對之後，再驗正負。」整數根不只要乘對，也必須加對。