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學習重點 掌握比例問題的「每一單位是多少」與「兩量同倍變化」，能用單價法、倍數法解題，並說明算式在原情境中的意義。 由兩量的對應數據，分別檢查和、差、積、商，找出真正維持不變的關係。 辨別直接換算與透過中介量的間接換算，理解比例問題的難度不只取決於數字大小。 申論作答須同時呈現算式、單位與情境解釋；自行舉例時，要讓每組數據都符合所宣稱的不變關係。 核心觀念 一、比例解題：先理解兩量如何對應 比例問題的重點，是在固定條件下找出兩量的對應關係。例如同一種水果的每公斤價格固定，購買重量增加為原來的幾倍，總價也增加為原來的幾倍。這是商不變的關係：總價÷重量＝固定單價。 列比例式時，各比的量與順序必須一致。例如前一個比是「價錢：重量」，後一個比也應是「價錢：重量」。比值可解釋為每公斤的價格，不能只把數字排列成算式而忽略單位。 國小比例教學應讓學童看懂量的關係。直接套用「內項乘積等於外項乘積」，雖然可能算出答案，卻未必理解為何如此運算，也可能在對應順序錯誤時仍機械計算。重點不是否定比例性質，而是先建立有意義的解題方法。 二、單價法與倍數法：兩種可理解的解法 方法解題步驟情境意義 單價法（先求每一單位）已知總價÷已知重量，再乘目標重量。先求每公斤多少元，再求所需公斤數的總價。 倍數法目標重量÷已知重量，再用已知總價乘此倍數。重量是原來的幾倍，總價就是原來的幾倍。 例如某水果每公斤價格固定，買3公斤需120元，求買12公斤的價錢。單價法列為120÷3＝40，表示每公斤40元；再算40×12＝480，表示12公斤共需480元。 倍數法則列為12÷3＝4，表示12公斤是3公斤的4倍；再算120×4＝480，表示重量變為4倍，總價也變為4倍。兩法答案相同，但單價法先求跨量的單位比值，倍數法先求同一量前後的倍數，申論應把這項差別說清楚。 題目若已列成「價錢：重量＝（ ）：重量」的比例式，也可以從比例式本身解釋：前後兩個比的比值都代表「每公斤多少元」，所以括號中的數÷目標重量必須等於已知單價；或看後項由已知重量變成幾倍，前項也跟著變成相同倍數（即「前後項同乘一數，比值不變」）。每一步都要寫出它在情境中代表「每公斤多少元」或「變成幾倍」，才算說明意義。 三、四種不變關係：以運算結果判別 將每組對應的兩個量記為甲、乙，依序檢查甲＋乙、甲－乙、甲×乙、甲÷乙，觀察哪一種運算的結果固定。計算商時，除數不可為0，且各組相除的方向須一致。 關係判斷依據典型情境與條件 和不變甲＋乙＝固定值固定總數分成兩部分，一部分增加多少，另一部分就減少多少。 差不變甲－乙＝固定值兄弟在相同時點的年齡，隨時間增加相同歲數，年齡差固定。 積不變甲×乙＝固定值面積固定的長方形，其長與寬的乘積固定。 商不變甲÷乙＝固定值單價固定時，總價與購買數量的商固定。 年齡問題要看差，不可把當下的倍數當成永久關係。例如哥哥12歲、弟弟8歲，四年後分別為16歲、12歲；兩人的年齡都增加4歲，年齡差仍是4歲，但哥哥年齡除以弟弟年齡的商已改變。因此，兄弟年齡屬於差不變，年齡同時增加不代表成正比。 商不變時，兩量成正比，一量變為原來的幾倍，另一量也變為幾倍；積不變時，兩量成反比，一量變為原來的幾倍，另一量便變為原來的幾分之一。只看兩量同增、同減，或一增一減，都不足以判定正比或反比。 四、自編表格：數據、關係與說明要一致 若要求舉出不同於年齡差的關係，可選擇和不變、積不變或商不變，並列出多組對應數據。例如以「20顆球分放兩盒」呈現和不變： 甲盒球數（顆）乙盒球數（顆）兩盒合計（顆） 41620 91120 13720 說明可寫：「每組甲、乙兩盒的球數相加都是20顆，因此兩量為和不變的關係。」完整作答包含情境條件、兩量名稱與單位、對應數據、固定的運算結果，不能只寫「和不變」而沒有資料支持。 其他可用例子：面積24平方公分的長方形，長與寬為（1,24）、（2,12）、（3,8）、（4,6），乘積皆為24，屬積不變；每枝筆10元，買1、2、3枝分別付10、20、30元，總價÷枝數皆為10，屬商不變。 五、比例問題的認知難度：看是否需要中介量 比較難度時，先辨認已知量與目標量之間有沒有直接的交換規則。若已有「甲卡與乙卡」的規則，求甲換乙或乙換甲，都可直接利用同一比例；交換方向反過來，並不表示一定需要新的中介關係。 若只提供「甲卡與乙卡」、「甲卡與丙卡」兩項規則，卻要求乙卡換丙卡，就須先把乙卡換算成甲卡，再由甲卡換算成丙卡。甲卡是串聯兩個比例的中介量，解題者必須選擇路徑、判斷各步方向，並保留中間結果，通常比直接換算更難。 例如4張甲卡可換6張乙卡，1張甲卡可換3張丙卡。欲由丙卡換乙卡，須走「丙卡→甲卡→乙卡」：如9張丙卡先換成3張甲卡，再由4張甲卡換6張乙卡（每張甲卡換1.5張乙卡）得4.5張乙卡。判斷這類題目的難度，應優先看比例能否直接使用、是否需要串聯；數字大小、乘除運算與答案是否為整數，也可能影響負荷，但不是唯一依據。 常考陷阱 只列交叉相乘，沒有解釋：要求學童可理解的解法時，應寫出先求單價或先求倍數的過程，並逐步說明算式代表什麼。 兩種解法只是同一算式改寫：把乘法交換位置，不足以呈現兩種不同思路。應分別說明「每一單位」與「同量倍數」。 重量增加多少，價錢就增加相同數字：重量與價錢的單位不同，不能直接加上同一數字。固定單價下，應依倍數或單價計算。 兩量一起增加，就判為商不變：兄弟年齡一起增加，固定的是差。必須實際檢查商是否相同。 一增一減，就判為積不變：固定總數分成兩部分也是一增一減，卻屬和不變；應檢查乘積或總和。 交換方向相反，就認為最難：直接規則可以反向使用（如由乙卡數求甲卡數）。真正最難的是規則中沒有直接連結兩種卡、必須透過中介量串聯換算的問題。 數字較大或倍數不整，就認為最難：數字只影響計算量，是否需要中介量才是判斷認知難度的關鍵。 表格只驗算一組：一組資料無法支持跨組的不變關係，應逐組確認。要求不同關係時，也不能只更換人物而仍舉差不變的例子。 記憶口訣 比例先找每一份，或看同量變幾倍；和差積商逐組驗，年齡相差永不變；中介串聯多一步，難度最高看這步。