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學習重點 分清楚「部分對部分的比」與「部分占全體的比率」，正確找出分母。 合併不同總量的資料時，要先算出各部分的實際量再相加，不能把兩組比的對應項直接相加。 由合併後的實際量計算圓心角，並判斷一種做法在數據改變後是否仍然正確。 依題目數量算出鉻與鎳的比值，再對照分類表的範圍，判斷不鏽鋼類型與用途。 掌握防禦率的意義，比較投手時要以投球局數為基準，換算成相同的每 9 局自責分。 核心觀念 一、比的兩項，與全體的份數不同 「蔬菜面積：稻米面積＝a：b」表示蔬菜占 a 份、稻米占 b 份，全部共有 a＋b 份。因此，蔬菜占總面積的比率是 a÷(a＋b)，稻米則是 b÷(a＋b)。a÷b 是蔬菜相對於稻米的比值，不是蔬菜占全體的比率。 若總面積為 T，則蔬菜面積＝T×a÷(a＋b)，稻米面積＝T×b÷(a＋b)。先寫出「總量乘以占比」，就能避免把比的數字直接當成公頃數。 二、比率合併：先算實際量，再算新占比 不同群體的比不能直接把對應項相加，占比也不能直接取算術平均，因為各群體的總量可能不同，「1 份」代表的實際量也不同。正確程序如下： 分別算出各群體中，目標部分占全體的比率。 各群體總量乘以該比率，得到目標部分的實際量。 將目標部分的實際量相加，再除以合併後的總量。 以兩塊農地的資料計算：12 公頃且蔬菜、稻米比為 1：2，蔬菜為 12×1÷3＝4 公頃，稻米為 8 公頃；28 公頃且兩者比為 2：5，蔬菜為 28×2÷7＝8 公頃，稻米為 20 公頃。合併後總面積為 40 公頃，蔬菜為 12 公頃，稻米為 28 公頃，因此面積比為 3：7，占比分別為 30％與 70％。 一般而言，若兩群體總量為 T、U，某部分的占比分別為 p、q，合併占比＝(T×p＋U×q)÷(T＋U)。這就是以總量為權重的加權平均。 三、「直接相加比的項」為什麼這次剛好對？ 把 1：2 與 2：5 的對應項相加，得到 (1＋2)：(2＋5)＝3：7，恰好與正確答案相同。原因是：老王 12 公頃分成 3 份，每份 4 公頃；老李 28 公頃分成 7 份，每份也是 4 公頃。兩邊「每 1 份」的實際面積剛好相等，相加份數才等於相加面積。 只要數據改變，例如老王改成 30 公頃（每份 10 公頃），每份大小不同，直接相加比的項就會出錯。因此： 做法原理數據任意改變時 先依各自總量算出蔬菜、稻米的實際面積，再合併求比或占比保留各塊農地的總量權重可以，永遠正確 直接把兩組比的前項、後項分別相加忽略每份代表的實際量不同不可以，只在每份大小相同時碰巧正確 把兩組占比直接平均默認兩群體總量相同不可以，只在總量相同時正確 判斷學童做法時，要問「這個方法換成其他數據還成立嗎？」某組數據算對，不代表方法普遍正確。看到先求實際面積的做法，判定為可以；看到直接加比的項的做法，判定為不可以。 四、圓形圖：全體對應 360° 圓心角＝該部分的實際量÷全部實際量×360°。合併農地的蔬菜圓心角為 12÷40×360°＝108°，稻米為 28÷40×360°＝252°，兩者相加為 360°。 注意分母是「全體」：若用比值 1÷2×360° 求蔬菜角度就錯了，應該是 1÷(1＋2)×360°。 五、鉻與鎳的比例：順序與比較基準要一致 題目指定比較「鉻與鎳」時，應寫成鉻：鎳，或計算鉻÷鎳。依所給數量，鉻：鎳＝360：70＝36：7，比值為 36÷7≈5.14。若分類表同時列出錳，三者比為鉻：鎳：錳＝360：70：110＝36：7：11。再用這些數值逐列對照分類表的範圍，此數量落在不鏽鋼鐵門所屬的類型。 比較項目計算方式判讀重點 鉻：鎳鉻的量：鎳的量前後順序不可交換 鉻與鎳的比值鉻的量÷鎳的量用來對照相同定義的分類範圍 鉻占合金的百分比鉻的量÷合金總量×100％必須知道合金總量 錳的數量不會放入「鉻÷鎳」的計算中；只有分類表另列錳的條件時才需要使用。題幹所述至少含 11％鉻，是鉻占合金總量的門檻，與鉻鎳比值是不同指標，不能互相代替。 分類時要讀清楚「大於、至少、小於、至多」：「至少」包含下限，「至多」包含上限，「大於」與「小於」不包含等號。比值接近邊界時，應保留分數或使用交叉相乘，避免四捨五入造成誤判。 六、防禦率：換算成每 9 局的自責分 防禦率＝自責分×9÷投球局數，表示投手平均每投 9 局所失的自責分。防禦率越低，代表表現越好。比較投手時，不能只看誰的自責分少，也不能只看誰投得久，必須比較自責分相對於投球局數的比率。 因為每個人的計算都乘以相同的 9，比較防禦率高低等同於比較「自責分÷投球局數」。比較 a÷b 與 c÷d 時，可比較 a×d 與 c×b，不必先算小數。題目只問其中幾位投手時，只比較指定的人。 若表中投球局數寫成 6.1、6.2 這類棒球記法，代表 6⅓ 局、6⅔ 局（每個出局數是 ⅓ 局），計算時要換成分數，不能當成小數 6.1、6.2。 若要求合併防禦率，應先加總自責分與投球局數：合併防禦率＝自責分總和×9÷投球局數總和。這同樣是比率合併，不能直接平均個別防禦率。 常考陷阱 把兩組比的對應項直接相加：1：2 與 2：5 加成 3：7 只是因為每份都恰好是 4 公頃，數據一改就不成立，這種做法判為「不可以」。 被「這次答案對」騙到：題目問「數據任意改變時」是否仍正確，要判斷方法本身，不是看這組數據的結果。 把兩個占比直接平均：未考慮不同總量，會讓小群體與大群體取得相同權重，應以各群體總量加權。 用部分對部分的比值求圓心角：蔬菜與稻米比為 1：2 時，蔬菜角度應為 1÷3×360°，不是 1÷2×360°。 只檢查角度合計：兩個錯誤角度也可能相加為 360°，還要確認各角度與實際占比一致。 顛倒鉻鎳順序或改換分母：鉻÷鎳與鎳÷鉻互為倒數；鉻÷合金總量是另一個指標，三者不可混用。 只憑產品名稱猜分類：手術刀、餐具聽起來比較「高級」，但要先算比例再核對表格範圍，不能以生活印象取代題目條件。 自責分少就判定防禦率低：投球局數不同時，必須換成相同的每 9 局基準。 誤讀局數記法：6.2 局是 6⅔ 局，不是 6.2 局。 太早四捨五入：比較接近的比率時，先用分數或交叉相乘判斷，最後再依要求取近似值。 記憶口訣 比先找全體，合併先還量；每份不一樣，項加必出包。 角度乘三六○，分類看邊框；鉻前鎳在後，錳不進分母。 防禦率比低高，自責除局再乘九；多人合併先加總，不能直接平均求。