阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 掌握等差數列通項公式，分清楚「項次」與「項的值」，正確計算指定項。 將兩個數列的通項設為相等，找出最小共同項及共同項之間的間隔。 以已知項為基準，利用公差表示前後各項，再合併同類項求總和。 利用對稱項和相等的性質，將數列總和、首末項乘積轉成方程式。 把連續整數視為公差為1的等差數列，依總和求出最小數或最大數。 核心觀念 一、等差數列的通項：從首項走到指定項 相鄰兩項的差固定，稱為等差數列；這個固定的差稱為公差，記為d。若首項為a₁，第n項為aₙ，則： aₙ＝a₁＋(n－1)d，n為正整數。 公式中的n－1代表從首項走到第n項所經過的間隔數。首項本身不必增加公差，所以代入n＝1時，必須得到a₁。 例如首項為6、公差為2，通項為6＋2(n－1)＝2n＋4。若要比較兩個數列的指定項，應各自代入自己的項次，算出項值後再比較；項次不同，項值仍可能相同。 若原數列通項為aₙ＝2n，從中每隔一項取出一項而形成bₖ＝4k，便有bₖ＝a₂ₖ。因此，新數列的第k項對應原數列的第2k項。這是子數列的項次對應，不能只比較兩個項次數字的大小。 換句話說，原數列第2k項與新數列第k項其實是同一個數，兩者相差為0。例如原數列第20項為40，新數列第10項也是40。 二、兩數列的共同項：先找起點，再找間隔 求共同項時，兩數列應使用不同的項次變數。例如一數列通項為3n－1，另一數列通項為4m－1，令項值相等： 3n－1＝4m－1，得到3n＝4m。 因為n、m都是正整數，且3與4互質，所以可設n＝4t、m＝3t，其中t為正整數。代回任一通項，得到共同項的通式： cₜ＝12t－1＝11＋12(t－1)。 這表示最小共同項為11，之後每次增加12。要找第r個共同項，就代入t＝r；也可由首個共同項再增加r－1次共同公差。 對首項與公差皆為整數，且公差為正整數的兩個等差數列，若存在共同項，則依大小排列的共同項也成等差數列，其公差為原來兩公差的最小公倍數。不過，最小公倍數只決定間隔，首個共同項仍須另外確認。 例如公差為4與6的兩數列，共同項若存在，間隔為12；但不能直接認定12就是首個共同項。有些數列也沒有共同項，例如偶數數列與奇數數列。 實際操作時，也可以把兩數列前幾項列出來比對，找到最小的共同項，再用最小公倍數往後推，速度往往更快。 三、以已知項表示其他項，再求代數和 連續的等差項不一定要從首項設未知數。題目已告知某一項為x，就以該項為基準：往前一項減d，往後一項加d。 已知條件四個連續等差項的表示總和 首項為xx、x＋d、x＋2d、x＋3d4x＋6d 第二項為xx－d、x、x＋d、x＋2d4x＋2d 第三項為xx－2d、x－d、x、x＋d4x－2d 連續的3的倍數，公差是3。若第二項為x，四項便是x－3、x、x＋3、x＋6；相加時，四個x合為4x，常數部分合為6，故總和為4x＋6。 「連續倍數」與「連續整數」要分清楚：連續整數每次增加1；連續的3的倍數每次增加3。若題目另有正整數限制，列式後也要確認最小項大於0，且各項符合倍數條件。 四、總和與首末項乘積：用對稱性降低計算量 等差數列中，與首末兩端距離相同的兩項，其和相等： a₁＋aₙ＝a₂＋aₙ₋₁＝……，Sₙ＝n(a₁＋aₙ)÷2。 四數成等差數列時，可設為a、a＋d、a＋2d、a＋3d，但若條件涉及總和及首末項乘積，使用平均數對稱表示法通常更方便。 設四項平均數為μ，四項可表示成： μ－3r、μ－r、μ＋r、μ＋3r。 四項總和為4μ，公差為2r；首末項乘積則為： (μ－3r)(μ＋3r)＝μ²－9r²。 因此，若總和為S、首末項乘積為P，便先由μ＝S÷4求平均數，再解μ²－9r²＝P。這利用平方差公式，把兩個未知數的問題分步處理。 例如四項總和為12、首末項乘積為－72，則μ＝3，且9－9r²＝－72，解得r＝±3。對應的數列為－6、0、6、12，或反向排列的12、6、0、－6。 若未指定由小到大，公差可以為正，也可以為負，應保留兩種排列；若指定遞增，才選取正公差。最後須檢查相鄰差、總和與首末項乘積，不能只驗算其中一個條件。 申論題作答時，建議依序寫出：設四項 → 由總和求μ → 由乘積列方程求r → 寫出數列 → 驗算，演算過程完整才能拿滿分。 五、連續整數：利用公差1與平均數求值 六個由小到大的連續整數，若最小數為x，可表示為x、x＋1、x＋2、x＋3、x＋4、x＋5。總和為： 6x＋15。 若要求最大數，也可直接設最大數為F，六數便是F－5、F－4、F－3、F－2、F－1、F，總和為6F－15。將題目給定的總和代入，即可解出F，省去先求最小數再往後推的步驟。 另一種方法是先求平均數。六個連續整數的平均數位在第三、第四個數之間，因此： 最大數＝總和÷6＋2.5；最小數＝總和÷6－2.5。 偶數個連續整數的平均數是半整數，不一定是數列中的某一項。解出後仍應檢查各項是否為正整數，以及排列是否符合由小到大的條件。 常考陷阱 把通項寫成a₁＋nd：多加了一次公差。代入n＝1檢查，若無法回到首項，公式就有誤。 用項次差當成項值差：兩數列有不同的首項與公差，必須先各自求出指定項的值，不能直接把項次相減。 看到項次不同就以為項值不同：子數列的第k項可能正好是原數列的第2k項，兩者相同、差為0。 把共同項強制設在相同項次：共同項可能分別出現在兩數列不同的位置，應設aₙ＝bₘ，而非只解aₙ＝bₙ。 把最小公倍數當作首個共同項：最小公倍數決定共同項之間的間隔，仍須先找到符合兩數列條件的最小共同項。 求第r個共同項時多加一次：從首個共同項出發，只增加r－1次共同公差。 第二項為x，卻把首項也寫成x：先確定x的位置，再往前減公差、往後加公差，否則總和的常數項會錯。 連續倍數誤用公差1：連續的3的倍數公差是3，不是1。 四項直接寫成x－d、x、x＋d、x＋2d，卻認定平均數是x：此表示法的平均數其實是x＋d÷2；只有對稱配置，偏移量相加才會抵消。 對稱表示法誤把r當公差：μ－3r、μ－r、μ＋r、μ＋3r的公差是2r，不是r。 解平方方程只取正根：題目未限制遞增時，負公差也可能成立，不能任意刪去反向排列。 把偶數項數列的平均數當成中間某一項：六個連續整數沒有唯一的正中央項，平均數位於中間兩項之間。 記憶口訣 「首項加差，次數減一；公項先找首，再按間隔走。」 「已知哪項，就從哪項；前減後加，對稱配對。」 「總和定平均，乘積用平方差；未說要遞增，正負都檢查。」