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學習重點 掌握等比數列的判別標準：每一項都是前一項乘以同一個固定且不為零的數，這個數稱為公比。 看懂「連接正方形各邊中點」的圖形遞推關係，利用畢氏定理求出相鄰兩層的邊長比。 分清楚邊長、周長與面積的縮放關係：周長比等於邊長比，面積比是邊長比的平方。 理解等比數列各項平方、同乘固定常數後的公比變化，並辨別累乘形式是否仍符合等比條件。 核心觀念 一、等比數列看「固定倍數」，等差數列看「固定差值」 若數列各項可寫成 a、ar、ar²、ar³、……（a≠0，r≠0），便是公比為 r 的等比數列。判斷的關鍵在於相鄰兩項之間的乘數是否固定，而不是數字是否越來越大或越來越小。 等比數列各項皆不為零，因此可用「後項÷前項」計算公比。三數 a、b、c 成等比數列，便有 b／a＝c／b＝r，因此也有 b²＝ac。運算時，先寫成 b＝ar、c＝ar²，通常能更清楚地追蹤公比。 比較項目等比數列等差數列 相鄰兩項的關係後項＝前項×固定公比後項＝前項＋固定公差 主要檢查方式比較後項與前項的比值比較後項減前項的差值 圖形中的常見線索每次縮成原來的固定比例每次減少固定長度 例如每次縮成原來的一半，是固定倍數的變化；每次減少半公分，才是固定差值的變化。「縮成多少」與「減少多少」必須分開判讀。 二、連接正方形各邊中點：用畢氏定理求邊長比 設外層正方形邊長為 s，連接相鄰兩邊的中點，連線就是內層正方形的一條邊。這條邊與外層正方形的兩段半邊長構成直角三角形，兩股長都是 s／2。 由畢氏定理，內層邊長的平方為： （s／2）²＋（s／2）²＝s²／2。 因為邊長為正，所以內層邊長＝s／√2＝s√2／2。因此，每向內一層，邊長都乘以 √2／2。每一層都採相同作法，縮放比例不變，邊長自然形成等比數列。 最外層邊長為 1 時，依序可得邊長為 1、√2／2、1／2、√2／4、……。內層正方形雖然旋轉了 45°，但旋轉不會改變邊長或周長，也不影響公比的計算。 三、周長跟著邊長縮放，面積則跟著邊長平方縮放 正方形周長＝4×邊長。若各層邊長依次為 s、sr、sr²，周長就是 4s、4sr、4sr²。計算相鄰周長的比值時，固定因數 4 會約掉，因此周長數列與邊長數列的公比相同。 在最外層邊長為 1、逐層連接中點的正方形中，周長依序為 4、2√2、2、√2、……，相鄰兩項的比值都是 √2／2，所以周長數列是公比為 √2／2 的等比數列，不是等差數列。面積則依序為 1、1／2、1／4、1／8、……，公比為 1／2。 測量的量與邊長 s 的關係向內一層的公比 邊長s√2／2 周長4s√2／2 面積s²1／2 同一幅圖可以產生不同數列，作答前必須先確認題目問的是哪一種量。 四、各項平方與同乘固定常數，都能保留等比結構 設原數列為 a、ar、ar²，公比為 r。將各項分別平方，得到 a²、a²r²、a²r⁴；每一項都是前一項乘以 r²，所以仍是等比數列，新公比為原公比的平方。 若原公比為負，平方後的新公比便為正。例如原數列為 1、−2、4，各項平方後為 1、4、16，公比由 −2 變成 4。可見平方會保留等比結構，卻不一定保留原公比。 將原數列各項同乘 2，則得到 2a、2ar、2ar²，每一項仍是前一項乘以 r，因此各項同乘同一個非零常數，公比不變。這也正是正方形邊長乘以 4 成為周長後，公比維持不變的原因。 五、累乘不是各項同乘固定常數 把 a、b、c 改寫成 a、ab、abc，並不是將原數列各項都乘以同一個數。新的相鄰比值為： ab／a＝b；abc／ab＝c。 新數列的兩個乘數分別是 b、c，原數列成等比只保證 b／a＝c／b，並不保證 b＝c，因此累乘後不一定成等比。 用公比表示更清楚：設 b＝ar、c＝ar²，則新數列為 a、a²r、a³r³，兩個比值分別是 ar 與 ar²，只有在 r＝1 等特殊情形下才會相等。 例如 1、2、4 是等比數列，改成累乘形式便得到 1、2、8，相鄰比值為 2 與 4，並不相等。遇到「一定成立」的敘述，只要找到一組符合原條件、卻使結論不成立的數值，就能否定它。 綜合來看：若 a、b、c 成等比，a²、b²、c² 一定成等比（公比 r²）；2a、2b、2c 一定成等比（公比 r）；a、ab、abc 則不一定。 常考陷阱 把「取中點」直接當成邊長減半：減半的是直角三角形的兩股，內層正方形的邊是斜邊，必須經過畢氏定理計算。 看到 1／2 就選為周長公比：1／2 是這種圖形的面積公比；邊長與周長的公比都是 √2／2。 把公比寫成公差：固定比例縮小形成等比關係。以周長 4、2√2、2 為例，兩次減少量分別為 4−2√2 與 2√2−2，並不相等，所以不是等差數列，「公差為 1／2」或「公差為 √2／2」都錯。 把相鄰比值除反：由外向內排列時，公比應算「內層÷外層」。因為越往內越小，公比應介於 0 與 1 之間，可用來檢查方向（√2 就是除反了）。 以為平方後就不是等比：各項平方仍是等比數列，只是公比變成 r²；同乘 2 則維持原公比 r。 以為出現乘法就一定成等比：等比要求每一步乘以同一個固定數；累乘形式每一步所乘的數是 b、c，通常不同。 用一個成功例子證明「一定」：特殊數值（如 r＝1 的常數數列）可能讓累乘後恰好成等比，卻不能證明普遍成立。判斷「一定」應用代數推導；要否定它則找反例。 記憶口訣 中點連線先畢氏，周長同率、面積平方；各項平方比平方，同乘常數比不變；遇到累乘算兩比，「一定」不成立找反例。