阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 辨認乘法對加法的分配律：括號內的每一個加數，都要乘上括號外的共同因數。 理解共同因數放在括號左側或右側，都可以使用分配律，不因書寫位置改變而失效。 掌握除法的拆分條件：被除數是和、除數為同一非零數時，可以分別相除後再相加。 區分「拆被除數」與「拆除數」：數除以一個和，不能直接改成分別除以各加數後相加。 能以算式結構、乘以倒數或簡單反例判斷等式，不必逐一算出複雜數值。 核心觀念 一、乘法對加法的分配律：每個加數都要乘 乘法對加法的分配律可寫成：a×(b＋c)＝a×b＋a×c。意思是兩個數的和乘以同一個數，可以先讓每個加數各自乘上該數，再把兩個乘積相加。 例如，6×(20＋3)＝6×20＋6×3。從「6份，每份有20＋3個」來看，總量可以分成「6份20個」與「6份3個」兩部分，所以兩種算法的結果相同。這也是利用整十、整百數進行心算的基礎。 使用分配律時，要保留括號內原有的加法，並讓共同因數與每一個加數相乘。若只乘第一個加數，寫成6×20＋3，就少算了其餘各份中的3，並不相等。 二、共同因數在左邊或右邊，都能分配 共同因數放在括號右側時，同樣成立：(a＋b)×c＝a×c＋b×c。例如，(20＋3)×6＝20×6＋3×6。 這可用乘法交換律理解：(a＋b)×c＝c×(a＋b)，先交換因數的位置，再使用分配律，最後依需要調整各乘積的順序即可。因此，判斷乘法分配律時，應看「共同因數是否乘到每一項」，不能只憑共同因數在括號左側或右側作答。 分配律也可以反向使用：a×c＋b×c＝(a＋b)×c。這稱為提出共同因數，與展開括號是同一個等量關係的兩種方向。 三、被除數是和：可以拆分，但除數要相同且非零 當被除數由兩個加數組成，且整個和除以同一個非零數時，可以寫成：(a＋b)÷c＝a÷c＋b÷c，其中c≠0。拆分後，被除數分成a與b，除數c則完整保留在每一項。 例如，(24＋12)÷6＝24÷6＋12÷6＝4＋2＝6。可以想成把24個與12個物品各自平均分給6人，每人所得相加，等於將全部物品合起來再平均分給6人。 這個等式也能由乘法分配律說明。除以非零數c，等於乘以c的倒數1/c，所以(a＋b)÷c＝(a＋b)×(1/c)＝a×(1/c)＋b×(1/c)＝a÷c＋b÷c。 須注意，拆分後的各項不必都整除。例如，(5＋7)÷4＝5÷4＋7÷4，右側雖出現分數，等式仍然成立。在分數或小數的運算中，不能因個別商不是整數就判定錯誤；也不能只取整數商、忽略剩餘部分。 四、除數是和：不能照樣拆開 若加法出現在除數的位置，則a÷(b＋c)不能直接改寫成a÷b＋a÷c。前者是除以「b與c的總和」，後者卻是分別除以b、c，再將兩個商相加，運算意義已經改變。 例如，12÷(2＋4)＝12÷6＝2；但12÷2＋12÷4＝6＋3＝9，兩者不同。一個反例就足以說明，這不是普遍成立的運算法則。 若從倒數理解，a÷(b＋c)是a×[1/(b＋c)]；而一個和的倒數，不等於各加數的倒數相加，所以不能仿照乘法分配律展開。原式須滿足b＋c≠0；若另寫a÷b＋a÷c，還必須有b≠0、c≠0，但即使這些數都非零，也不代表兩式相等。 五、用結構快速比較 算式結構能否作為一般法則判斷關鍵 a×(b＋c)＝a×b＋a×c可以共同因數在左側，每個加數都乘到。 (a＋b)×c＝a×c＋b×c可以共同因數在右側，也適用分配律。 (a＋b)÷c＝a÷c＋b÷c可以，c≠0拆分被除數，保留同一除數。 a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c不可以拆分了除數，沒有這樣的分配法則。 綜合判斷時，四種形式中只有「除數是和」的那一種不成立；其餘三種（乘數在左、乘數在右、被除數是和）都成立。 常考陷阱 「除法沒有分配律，所以出現除號都錯」：說法過度概括。被除數是和、除數相同且非零時，可以拆分；關鍵是加法位在被除數還是除數。 「被除數與除數都能拆，所以兩種除法都對」：這是把乘法的左右對稱硬套到除法。乘法有交換律，除法沒有，只有被除數那一側可以拆。 「共同因數在括號右邊，就不符合分配律」：共同因數的位置不影響乘法分配律。應檢查展開後是否每一項都乘上同一因數。 「拆開後除不盡，因此等式不成立」：分數與小數也是商的合法表示。是否整除，與被除數能否拆分是兩件事。 「只要各個除數都不為零，就可以拆除數」：非零只是除法有意義的條件，不能因此推出錯誤的分配關係。 「數字很大，必須全部算完才能判斷」：這類題目主要考運算結構。先找加號，再確認它位於乘法括號、被除數或除數，通常即可判斷；需要驗證時，選簡單數字作反例即可。 記憶口訣 「乘法左右都能配；除法拆上不拆下；共同除數不能零。」 「上、下」是把除法寫成分數時的分子與分母：分子的和可拆成同分母分數相加，分母的和不能直接拆開。作答時仍應回到算式，確認拆的是被除數，且每一項保留同一個非零除數。