質數、合數與互質

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建立於 2026年11月10日

學習重點 掌握質數、合數的定義，特別記住：0與1都不是質數，也不是合數。 能以因數、整除規則及試除法判別質數，並知道0是11的倍數。 分清楚「一個數是質數」與「兩個數互質」：兩個不同質數必互質，但互質的兩數未必都是質數。 利用2是唯一偶質數，以及奇偶數的加法規則，判斷質數邊長三角形的必要條件。 以分子、分母的最大公因數是否為1，判定最簡分數，並依題目範圍有系統地計數。 核心觀念 一、質數與合數：先確認定義的範圍 本單元的質數與合數，都是針對大於1的正整數分類。判別時只計算正因數。 類別判別條件例子 質數恰有兩個不同的正因數：1與本身2、3、5、7、11 合數大於1，且除了1與本身以外，還有其他正因數4、6、9、12 都不是不符合質數或合數的定義0、1 1只有一個正因數，因此不是質數；0不在大於1的正整數範圍內，也不能歸為合數。「不是質數」不等於「就是合數」，必須先排除0與1。 看到乘法形式，要判斷的是乘積的值。若兩個整數因數都大於1，乘積必為合數，例如2×13＝26、7×13＝91都是合數；但乘以1不會改變原數，所以「寫成乘法」不代表合數。例如1×79仍是79，而79是質數；1×12仍是12，是合數。 二、如何判別較大的數是否為質數 若正整數n是合數，就能寫成n＝a×b，其中1＜a≤b＜n，此時a×a≤n，也就是較小的因數a不超過√n。因此，判斷n是否為質數，只須檢查不超過√n的各個質數能否整除n；都不能整除，n就是質數。 例如11²＝121＜127＜12²＝144，只須檢查2、3、5、7、11。127不是偶數，各位數字和為10，不是3的倍數，末位不是0或5；再確認127＝7×18＋1、127＝11×11＋6，不能被7與11整除，即可判定127為質數。不能只因為一個數「看起來很大」或「不是偶數」就判為質數。 常用的整除規則包括：末位為偶數可被2整除；各位數字和為3的倍數，可被3整除；末位是0或5，可被5整除。判斷11的倍數，可將各位數字由右起依奇數位、偶數位分成兩組分別加總，兩組和的差若為11的整數倍（包含0），就可被11整除。例如297的奇數位和為7＋2＝9，偶數位為9，差為0，且297＝11×27，所以它既是合數，也是11的倍數。 0也是11的倍數，因為0＝11×0。倍數關係與質數、合數分類是不同概念；0雖然不屬於質數或合數，仍是每個非零整數的倍數。 若題目分別統計質數、合數及某數的倍數，再把各類個數相加，同一個數可以在不同類別各計一次。這種統計不是計算「總共有幾個不同的數」，不可自行扣除重複部分。 三、質數與互質：個別性質與兩數關係 質數是單一整數的性質；互質則是兩個正整數之間的關係。兩數的最大公因數為1，就稱為互質，也就是兩數唯一的共同正因數是1。 敘述正誤判斷理由 兩個不同質數一定互質正確各自只有1與本身兩個正因數，且兩數不同，所以共同正因數只有1 兩個質數一定互質不一定若兩數相同，例如5與5，最大公因數就是5 兩個不同的數互質，兩數一定都是質數錯誤例如8與9都是合數，但最大公因數為1；又如1與2互質，但1不是質數 一個質數與一個合數不可能互質錯誤例如5與12的最大公因數為1 若p為質數，判斷p與正整數m是否互質，只須看m是否為p的倍數：若是，最大公因數為p；若不是，最大公因數為1。另外，1與任何正整數都互質，但1不是質數。 簡單說：「質數⇒互質」（兩數不同時）成立，「互質⇒質數」不成立，兩者是單向關係，不能倒過來推。 四、質數的奇偶性與三角形邊長 2是唯一的偶質數，其餘質數都是奇數。因為大於2的偶數，除了1與本身外，還有因數2，所以一定是合數。 奇偶數相加的規則是：奇＋奇＝偶、偶＋奇＝奇、偶＋偶＝偶。因此，三個奇數相加必為奇數。若三角形三邊都是質數而周長為偶數，三邊就不可能全是奇質數，必須至少有一邊是2。 這裡得到的是「一定含有2」的必要條件，不能進一步斷言一定含有3、5或7。若還要判斷某組質數能否成為三角形，須另檢查任兩邊長之和大於第三邊；例如2、3、5的周長為偶數，但2＋3＝5，不能構成三角形，而2、5、5則可以。周長的奇偶條件不能取代三角形不等式。 五、最簡分數：分子與分母互質 分子、分母皆為正整數的分數，若兩者的最大公因數為1，就是最簡分數。判斷重點是「能否再約分」，不是分子、分母是否各自為質數。 例如8／15的分子、分母都是合數，但兩者互質，所以是最簡分數；3／9的分子雖是質數，仍可約分，因此不是最簡分數。 分母固定時，可先將分母作質因數分解，再排除含有相同質因數的分子。例如分母為12＝2²×3，分子只要是2或3的倍數，就不是最簡分數；在1到11之中，留下1、5、7、11，共4個。 大量計數時可用容斥原理：總數減去不合格者，若有重複扣除，必須加回。例如分母為100、分子為1到99時：100＝2²×5²，不同質因數是2與5；1到99中2的倍數有49個、5的倍數有19個、10的倍數有9個，因此最簡分數有99－49－19＋9＝40個；最後加回的9個，是同時為2與5倍數、被扣了兩次的分子。 實際作答要先讀清楚題目列出的分數與起訖範圍。不能只看到分母，就套用其他範圍的計數結果；分母不同時，也必須分別檢查。 常考陷阱 「0與1都是合數」或「1是質數」：錯。質數與合數都必須大於1，0與1兩者皆非。 「倍數只能從正的一倍開始」：錯。0＝11×0，因此統計11的倍數時不能漏掉0。 「各類個數相加，要扣掉重複的數」：不一定。若要求各分類個數的和，同時符合兩類的數就分別計入。 「凡是乘積形式就是合數」：錯。乘以1只改變寫法，仍須判斷另一個因數是否為質數。 「奇數一定是質數」：錯。例如9、15、21、91都是奇合數。 「互質表示兩數都是質數」：錯。互質只要求最大公因數為1；兩個合數也可能互質。 「兩個質數必互質，不必確認是否不同」：錯。必須保留「不同」這個條件。 「周長為偶數，三邊就都是偶數」：錯。兩個奇數加一個偶數也是偶數；結合質數條件，才能推出必含2。 「周長為偶數，一定含有3或5」：錯。奇偶性只能推出必含唯一的偶質數2。 「分子是質數，分數就是最簡分數」：錯。若分母含有該質因數，仍可約分；應直接檢查最大公因數。 「排除2的倍數，再排除5的倍數即可」：錯。10的倍數被扣了兩次，必須加回一次。 記憶口訣 零一兩不屬，偶質只有二；不同質數必互質，互質未必都為質。 三奇相加仍是奇，偶周質邊必有二；分數最簡看互質，重複扣除要補回。