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學習重點 掌握速率的意義：速率表示單位時間內通過的路程。不能只看路程或只看時間，就判斷誰快誰慢。 建立等距比較觀念：路程相同時，花的時間越少，平均速率越快；花的時間越多，平均速率越慢。 理解反比關係：路程相同時，平均速率比等於時間比前後對調。計算前必須先統一時間單位。 熟用「路程＝速率×時間」：能從分段行程中找出所求路段的速率與時間，排除不必要的資訊。 核心觀念 一、速率表示「單位時間走多遠」 速率描述移動的快慢，基本關係為速率＝路程÷時間。例如「每小時行駛若干公里」，就是以一小時為時間單位，說明通過多少公里。相同時間內走得越遠，速率越快；走相同路程時，花的時間越少，速率也越快。 比較兩人的快慢時，應先檢查兩筆資料是否有相同路程或相同時間。如果路程和時間都不同，就不能只憑「跑得比較遠」或「花的時間比較少」下結論。這時應分別計算速率，或換算成相同路程、相同時間後再比較。 比較條件應觀察的量判斷方式 路程相同所花時間時間越少，平均速率越快 時間相同通過路程路程越長，平均速率越快 路程、時間都不同路程與時間的比值計算路程÷時間後再比較 二、等距比較：先確認路程相同，再比較時間 要引出「距離相同，花的時間越少就跑得越快」的概念，教師應選取跑步距離相同、完成時間不同的兩筆資料，再提問誰跑得比較快。這樣能固定路程，讓學生只觀察時間不同造成的快慢差異。 閱讀多人跑步的表格或圖示時，可依下列步驟判斷： 先找出距離相同的兩人。 再核對兩人的時間是否不同。 最後判斷時間較少的人跑得較快。 選項中常同時出現其他配對，判斷方式如下： 時間相同、距離不同：雖然也能比較快慢，但說明的是「同時間比路程」，不符合「同路程比時間」的教學目標。 路程與時間都相同：只能得出兩人一樣快，無法呈現「時間較少者較快」的差異。 路程與時間都不同：必須先計算速率，無法直接引出等距比較的概念。 作答時應逐一檢查每個選項中兩人的數據，只有「距離相同、時間不同」的那一組符合題意。 三、平均速率：總路程除以總時間 平均速率＝總路程÷總時間，描述整段行程的平均快慢，不代表途中每一刻都維持相同速率。兩人走相同路徑、完成相同行程時，總路程相同，可以直接用總時間比較平均速率。 設甲、乙通過的路程都是 D，所花時間分別為 t甲、t乙，則平均速率分別為 D÷t甲、D÷t乙。因此： 甲的平均速率：乙的平均速率＝乙的時間：甲的時間 這就是相同路程下，平均速率與時間成反比。 例如走同一段路，甲用 1 小時，乙用 30 分鐘。先統一單位成 60 分鐘與 30 分鐘，時間比為 60：30＝2：1，所以甲、乙的平均速率比為 1：2。甲花的時間是乙的兩倍，平均速率就是乙的一半。算完後可以用「花較久的人應該較慢」檢查比值是否合理。 反比關係有明確前提：路程必須相同。若兩人走的路程不同，就不能只把時間比倒過來當成速率比。 四、單位換算：速率與時間必須配合 使用路程＝速率×時間時，代入的時間單位必須和速率中的時間單位一致。速率若是「公里／小時」，時間就應換成「小時」，算出的路程單位才是公里。 換算項目正確關係使用提醒 小時與分鐘1 小時＝60 分鐘先統一單位，才能比較或運算 分鐘換小時分鐘數÷6020 分鐘＝1／3 小時；30 分鐘＝1／2 小時；40 分鐘＝2／3 小時 小時換分鐘小時數×60改用分速計算時使用 時速換分速每小時的路程÷60300 公里／小時＝5 公里／分鐘 例如以每小時 300 公里行駛 20 分鐘，有兩種算法，結果相同： 把時間換成小時：300×（20÷60）＝100 公里。 把時速換成分速：每分鐘 5 公里，5×20＝100 公里。 兩種方法的關鍵都是讓時間單位一致。 五、分段行程：所求路段要配對所屬資料 交通工具途中改變速率時，應依改變速率的時間點分段。每段路程分別用「該段速率×該段時間」計算，總路程再把各段相加。不能拿前段速率乘後段時間，也不能混用不同路段的資料。 若只求改變速率前行駛的路程，而該段的速率與時間都已知，就能直接求出答案。後段速率、全程延誤多久等資訊可能用於其他小題，但計算目前所求時不一定需要。例如列車先以每小時 300 公里行駛 20 分鐘後才降速，以時速 300 公里行駛的路程就是 300×1／3＝100 公里。 延誤時間＝實際全程時間－原定全程時間，不等於降速後行駛的時間。延誤只發生在降速之後的路段，所以可以用來求後段路程。設降速後剩下的路程為 x 公里，則： x÷200－x÷300＝40／60 化簡得 x÷600＝2／3，所以 x＝400 公里，全程為 100＋400＝500 公里。 驗算：原定時間為 500÷300＝5／3 小時，也就是 100 分鐘；實際時間為 20 分鐘＋400÷200 小時＝20 分鐘＋120 分鐘＝140 分鐘；兩者相差 40 分鐘，與題意相符。 解題前先寫出「要求哪一段」，再圈出該段的速率與時間，比把所有數字都放進算式更不容易出錯。 常考陷阱 「時間少的人一定較快」：必須先確認路程相同。跑較短距離而提早完成，不能證明速率較快。 「距離遠的人一定較快」：必須先確認時間相同。如果花的時間也比較長，仍須計算速率才能判斷。 選到能比較快慢、卻不符合教學目標的配對：題幹強調「距離相同，時間越少越快」時，要找距離相同、時間不同的兩人，不能選成同時間比路程，也不能選路程與時間都相同或都不同的組合。 「速率比和時間比相同」：路程相同時，兩者剛好相反。時間比為 2：1，速率比就是 1：2。人物順序仍須依題目要求排列，小心把 1：2 寫成 2：1。 把 1 小時與 30 分鐘直接寫成 1：30：單位不同的數字不能直接相比，應先換成 60：30，或 1：1／2，再化簡。選項出現 10：3 或 3：10，通常就是單位沒有統一的結果。 把 20 分鐘當成 0.2 小時：時間換算以 60 為基礎，20 分鐘是 20／60＝1／3 小時。0.2 小時其實是 12 分鐘。 直接計算 300×20：時速不能直接乘分鐘數。應把分鐘換成小時，或把時速換成分速。 把延誤時間當成某段的行駛時間：延誤是兩個全程時間的差，不能直接代入某一段的路程公式。 認為題目中的數字都必須用到：先判斷所求量需要哪些資料。已知某段的速率與時間，就能求出該段路程。 把不同速率直接取算術平均：平均速率應該用總路程除以總時間。只有各段所花時間相等時，才可以把各段速率直接取算術平均。 記憶口訣 同路比時，時少速快；同時比路，路長速快。 等距速時比，前後要對調；路程速乘時，單位先統一。 分段先配對，所求看清楚；延誤是時差，不能當段時。