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學習重點 掌握連除性質：一個數連續除以兩個非零數，等於除以這兩個數的積，即 a÷b÷c＝a÷(b×c)。 分辨「連除」與「除以一個商」：括號位置不同，運算意義與結果也可能不同。 理解先乘再除與先除再乘的等值關係，並能選出適合國小學童操作、說明的具體情境。 以數量、單位與分配過程解釋算式，區分連除、連乘及乘除混合問題。 判斷等式是否恆成立，並注意除數不得為零，以及整數除法是否涉及餘數。 核心觀念 一、連除兩數，等於除以兩數之積 對任意數 a 及非零數 b、c，均有(a÷b)÷c＝a÷(b×c)。沒有括號的 a÷b÷c，依同級運算由左至右計算，因此與 (a÷b)÷c 相同。 連除性質的重點是：原本分兩次除，可以改成先算出兩個除數的積，再一次除完。以乘法表示，就是 a×(1/b)×(1/c)＝a×[1/(b×c)]。因此，這項性質不要求 a 一定能被 b 或 b×c 整除；只要使用精確的分數或小數，等式仍然成立。 例如，72÷3÷4＝24÷4＝6，也可以算成 72÷(3×4)＝72÷12＝6。兩種算法的計算步驟不同，但所表示的總分配份數相同。 二、用平均分配理解連除 若有 48 顆糖果，要平均分給 6 組學生，每組有 4 人，可以採取兩種做法： 先分組，再分人（依序計算）：先算每組分到 48÷6＝8 顆，再算每人分到 8÷4＝2 顆，合併列式為 48÷6÷4＝2。 先算總人數，再分配：共有 6×4＝24 人，每人分到 48÷(6×4)＝2 顆。 這兩種做法都在求「每人分得多少」，答案也相同，教師藉此要讓學童認識的是：一個算式中連除兩數時，除了由左至右依序計算，也可以先將兩個除數相乘，再用原來的數除以所得的積，即 a÷b÷c＝a÷(b×c)。只說「兩種答案一樣」，尚未完整指出要學習的運算關係。 情境中各數的角色必須清楚：組數乘以每組人數得到總人數；總量除以總人數，才是每人的分配量。不能將兩個除數相加，因為組數加上每組人數並不代表總人數。 三、依指定算式設計連除情境 設計教學問題前，要先檢查結果是否符合物品的性質。若指定算式為 104÷2÷3，其精確結果為 104÷6＝52/3，也就是 17 又 1/3。若使用不可分割的物品，又要求每人分得整數個，就不能直接假設可以全部平均分完。 適合的布題例如：「有 104 公升果汁，平均分給 2 組，每組有 3 人，每人可分得多少公升果汁？」果汁可以分割，能自然接受分數答案。 依分配過程可列為 104÷2÷3；依總人數可列為 104÷(2×3)。兩式都得到每人 17 又 1/3 公升，能呈現連除兩數等於除以兩數之積。布題應明確寫出「平均分」，並讓第一個除數（組數）與第二個除數（每組人數）在情境中有層次關係，相乘後恰為總份數。 四、先乘再除與先除再乘 在一般精確數值運算中，只要 c≠0，就有(a×b)÷c＝(a÷c)×b，也可以改寫為 a×(b÷c)。原因是除以 c 等於乘以 1/c，可利用乘法的交換律與結合律重新安排計算。 若教學範圍限於整數，並希望每個中間步驟都得到整數，應選擇某個乘數能被除數整除的數據，先除該乘數再乘另一數。例如 (15×7)÷5，可改成 (15÷5)×7；若改成 15×(7÷5)，雖然精確數值仍相等，卻會引入分數，較不適合用來初步建立整數範圍的簡便計算。 最典型的情境是：「每盒糖果有 15 顆，將 7 盒糖果平分給 5 人，每人可分到多少顆？」 先乘再除：先算總共 15×7＝105 顆，再平分給 5 人，105÷5＝21 顆。 先除再乘：把每一盒都平分給 5 人，每人每盒得 15÷5＝3 顆，7 盒共得 3×7＝21 顆。 兩種過程在情境中都說得通，且結果相同，正好呈現「先乘再除＝先除再乘」。這類情境的結構是「每單位數量 × 單位數 ÷ 平分人數」，同時含有乘與除。 五、從數量關係辨認布題類型 情境結構典型算式適合說明的觀念 每盒若干個，把若干盒平均分給若干人，求每人數量(a×b)÷c＝(a÷c)×b先乘再除與先除再乘 總量平均分給若干組，每組再平均分給若干人a÷b÷c＝a÷(b×c)連除與除以總份數（等分除） 總量每若干個裝一盒，每若干盒裝一箱，求箱數總個數÷每盒個數÷每箱盒數＝總個數÷(每盒個數×每箱盒數)連除與除以兩數之積（包含除） 每盒有若干包，每包有若干片，由總片數求盒數總片數÷(每包片數×每盒包數)連除與每盒總片數的關係 每盒若干個、每箱若干盒，由箱數求總個數每盒個數×每箱盒數×箱數連乘與乘法結合律 選擇教學布題時，應看它能否自然呈現目標中的兩種算法。要說明「先乘再除與先除再乘」，情境必須同時有乘與除；只有連除（如裝盒再裝箱）或只有連乘（如由箱數求總個數）的情境，都不符合此目標。不能只因題目出現「盒、包、箱、人」或三個數字，就判定它適合說明乘除等值變換。 常考陷阱 把先除再乘誤認為連除：(a÷b)×c＝a×c÷b，不能一般化成 a÷(b×c)。前者是乘以 c，後者是除以 c，作用不同；只有 c＝1 等特殊情形才會碰巧相等。 誤以為除法有結合律：(a÷b)÷c 與 a÷(b÷c) 通常不同。例如 24÷6÷2＝2，但 24÷(6÷2)＝8。連除性質是將兩個除數「相乘」，並非任意移動括號。 把減法括號直接移動：(a－b)－c＝a－b－c；a－(b－c)＝a－b＋c。括號前是減號時，去括號須改變括號內各項的符號，兩式不恆等。 錯把除法分配到除數的和：a÷(b＋c) 通常不等於 a÷b＋a÷c。例如 12÷(2＋4)＝2，但 12÷2＋12÷4＝9。可分配的是被除數中的加法，例如 (a＋b)÷c＝a÷c＋b÷c，其中 c≠0。 把「任意正整數」理解成一定整除：a、b、c 都是正整數，商仍可能是分數。判斷等式時應保留精確值，不能只取整數商或捨去餘數。 用一次成立證明恆真：恆真表示所有符合條件的數值都成立。否定恆真只需一個反例；要證明恆真，則應依運算性質說明。代入 1 等特殊數值容易掩蓋錯誤。 布題選項混淆目標：要說明「先乘再除＝先除再乘」，應選「每盒若干個、若干盒平分給若干人」這種乘除混合情境；「每 4 個裝一盒、每 6 盒裝一箱，求箱數」屬於連除，「每盒 2 包、每包 7 片，求盒數」也是除以兩數之積，「由箱數求總個數」則是連乘，都不是正解。 先除錯乘數：整數簡算應先找能被除數整除的乘數；不能將不整除的結果任意取整數，再繼續相乘。 申論只寫公式，缺少情境對應：布題應交代總量、分配層次、平均分的條件與所求單位，讓連除與除以乘積兩種列式都有合理解釋；說明教學目標時，要明確寫出「連除兩數可先將兩除數相乘，再以原數除以其積」。 記憶口訣 「連除兩數，除以其積；乘後再除，找整除先做。」 「括號看清，單位對齊；恆真靠性質，否定找反例。」