部分占比與比率方程

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建立於 2026年11月10日

學習重點 先辨認比率的基準量：「占幾分之幾」或「占百分之幾」，都要先確認是以哪個整體為基準，再用「部分量＝整體量×比率」列式。 分清原有總量與調整後總量：借入物品後，各部分可能依新總量分配；實際分出去的總數，則須配合歸還條件判斷。 命中率以次數為基礎：整體命中率＝總命中次數÷總出手次數，不能直接把不同階段的命中率相加或取平均。 把文字條件轉成一元一次方程式：用一個未知數表示總量或新增次數，再依分配總數、命中比例等條件建立等式。 解出後回到情境驗算：物品數與出手次數須為非負整數，且必須同時符合分配、歸還與命中率等全部條件。 核心觀念 一、部分占比：先找出每個分數所指的整體 比率本身不是數量，而是部分與整體之間的關係。若整體量為 x，某部分占整體的 a，則該部分的數量就是 ax；若數個部分都以同一個整體為基準，就能先把比率相加，再乘以整體量。 部分總量＝整體量×各部分比率之和。例如三部分分別占同一整體的 1/3、1/4、1/5，則合計占比為 1/3＋1/4＋1/5＝20/60＋15/60＋12/60＝47/60。這表示每有 60 份作為分配基準，三部分合計取走 47 份，剩下 13 份。 分數相加要先通分，不能直接將分子與分母分別相加。此外，只有在基準量相同時，才能用比率之和表示合計占比；若每個分數各自對應不同總量，就必須先分別求出實際數量。 二、借入再分配：分配基準與實際分出量可以不同 遇到「先借入、再依比例分配、最後歸還」的情境，要把數量分成三層：原有數量、借入後總量，以及實際分配總量。設原有數量為 N，借入後總量為 x，各部分合計占比為 s，則借入數量為 x－N，分配總量為 sx，分配後剩餘量為 x－sx。 若要求原有物品全部分完，且剩餘物品恰好足以歸還借入數量，就有： x－sx＝x－N，因此 sx＝N。 這個等式的意義是：雖然各部分依「借入後總量」計算，但合計分出去的數量，恰好等於「原有數量」。所以不能因為有三位分配對象，就認為三個分配比率一定要加成 1；未分配的部分，可能正是準備歸還的數量。 數量名稱代數表示判讀重點 原有數量N最後實際分出的總數 借入後總量x各部分分數共同使用的基準量 借入數量x－N借入後總量減去原有數量 分配後剩餘量(1－s)x須等於借入數量，才能恰好歸還 也可以直接設借入數量為 b，則分配基準為 N＋b，方程式為 s(N＋b)＝N。兩種設法都正確，但設借入後總量通常較簡潔。 以前述三個分率為例，若實際分出總數為 47，便有 (47/60)x＝47，得到分配基準 x＝60。各部分依序為： 項目計算數量 占 1/3 者60×1/320 占 1/4 者60×1/415 占 1/5 者60×1/512 合計分出20＋15＋1247（＝原有數量） 借入量（＝剩餘量）60－4713 求出總量後，還要依所問項目計算各部分或借入量。選項可能分別問某一部分的數量或借入數量，每一項都要對照上表逐一判斷，不要只算出總量就作答。 三、命中率：先轉成命中與出手次數 命中率＝命中次數÷出手次數；命中次數＝出手次數×命中率。「一成」代表 10%，因此五成＝50%＝1/2，七成＝70%＝7/10。列式時可選分數或小數，但前後要一致。 設前一階段出手 n 次、命中率為 p，則已命中 np 次。若後一階段新增 x 次出手且全部命中，新增命中次數也是 x，因此： 總出手次數＝n＋x；總命中次數＝np＋x。 若最後命中率為 r，則 (np＋x)/(n＋x)＝r。將兩邊乘以 n＋x，即得 np＋x＝r(n＋x)，這就是可直接求解的一元一次方程式。 例如前段出手 6 次、命中率五成，命中次數為 6×1/2＝3；最後要求命中率為 7/10，就列成 (3＋x)/(6＋x)＝7/10。交叉相乘得 10(3＋x)＝7(6＋x)，即 30＋10x＝42＋7x，整理為 3x＝12，故新增出手與新增命中皆為 4，也就是「罰 4 中 4」。代回檢查：總命中 7、總出手 10，7/10＝七成，符合條件。 四、全部命中時，也可利用未命中次數不變 後續若全部命中，未命中次數不會增加。設原先未命中 m 次，最後命中率為 r，則最後未命中率為 1－r，因此最後總出手次數 T 滿足 m/T＝1－r，也就是 T＝m÷(1－r)，新增出手次數再用 T 減去原有出手次數。 例如前段出手 6 次命中 3 次，未命中維持 3 次，而最後未命中率為 30%，則總出手為 3÷0.3＝10 次，新增出手為 10－6＝4 次。這個方法與命中率方程式等價，特別適合用來快速驗算。 整場命中率也可寫成「各階段命中次數之和÷各階段出手次數之和」。各階段出手次數不同，對整體的影響就不同；只有兩階段出手次數相同時，兩個命中率的算術平均才等於整體命中率。 後段情形整場命中÷出手整場命中率 罰 4 中 47/1070% 罰 5 中 58/11約 72.7% 罰 6 中 69/1275% 罰 7 中 710/13約 76.9% 由表可見，後段全中次數越多，整場命中率越高；只有恰好的次數能使整場命中率等於指定值。 常考陷阱 直接用原有數量乘分率：若題意指定依借入後總量分配，原有數量就不是分配基準。看到「這個數的幾分之幾」，要先追查「這個數」指什麼。用 47 直接乘 1/3、1/4、1/5 連整數都得不到。 只湊成能整除的數就停止：分配物品通常須得到整數，因此公倍數可作為檢查線索；但能整除只是必要檢查，還須符合「分出總量等於原有量、剩餘恰可歸還」的條件。例如 120 雖然也能被 3、4、5 整除，但分出 94 隻，超過原有數量，不合題意。 以為只要借很少就好：借 1 隻湊成 48，48 不能被 5 整除，無法依比例分配；借入量必須由方程式 sx＝N 求出，而非憑直覺湊數。 張冠李戴各部分數量：算出 20、15、12 後，要對應正確的分率（1/3、1/4、1/5），並注意選項問的是哪一位、還是問借入量，避免把數字配錯對象。 誤認比率合計不足 1 就不能分完：要分完的是原有數量，分率依據的卻可能是借入後總量。兩者不同，分率合計不足 1 仍可能符合要求。 把剩餘量當成多分或少分：在借入再歸還的情境，剩餘量有明確用途。應比較剩餘量與借入量，不能單看是否有剩餘。 把兩階段命中率直接平均：整體比率須先合計次數。前段五成、後段十成，若直接平均得 75%，就會誤選「罰 6 中 6」；但那只在兩段出手次數相同時才成立，而題目要求的是七成。 新增命中只加在分子：每一次命中必然也占一次出手；後段全部命中時，分子與分母都要加上相同的 x。 把命中率提升幅度當新增命中數：命中率是比例，新增出手會同時改變分子與分母，不能只用兩個百分率相減求次數。 代入選項時漏看前段紀錄：「罰 a 中 a」只描述後段，驗算時仍須加上前段的命中與出手。不同的全中次數，會形成不同的整場命中率。 解得數值卻未檢查單位：總量、借入量、個別分配量與新增出手量不能混用；最後應確認答案對應所問，且符合整數與非負條件。 記憶口訣 占比先找整體，部分相加列等式；借後作基準，剩下要能還。 命中除以出手，整場先合次數；全中兩邊加，未中數不變。