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學習重點 求代數式的值，不一定要先解出未知數。先觀察已知方程式與目標式是否有相同的平方項、一次項，能直接整組代換就不必求根。 熟記完全平方公式。掌握（x＋t）²＝x²＋2tx＋t²，尤其注意一次項係數與補入常數的關係。 先展開、再整理、後代換。乘積形式的目標式，展開後常能直接對應已知方程式。 以平方非負判斷恆成立。實數的平方必定大於或等於零；把不等式移項後整理成「平方和」，就能同時判斷真假與等號條件。 分清「某些數成立」與「所有實數皆成立」。恆真命題不能額外假設變數為正數；只要找到一個反例，就能推翻。 核心觀念 一、已知方程式，就是可以代換的關係 已知某個數滿足方程式，表示把這個數代入後，等式必定成立。因此，除了解出方程式，也可以先移項，取得方便使用的代換關係。 例如，若 u²＋2u－7＝0，便有 u²＋2u＝7。要求（u＋1）²時，利用完全平方公式可得： （u＋1）²＝u²＋2u＋1＝7＋1＝8。 這種方法的重點是整組代換：把 u²＋2u 看成一個整體，直接換成已知數值。原方程式雖然有兩個根，但兩根都滿足同一個關係式，所以只要目標式能化成「已知式＋常數」，兩根代入的結果必定相同，答案只有一個。 一般而言，若 x²＋px＋q＝0，則 x²＋px＝－q。當目標式為 x²＋px＋r 時，即可直接得到 r－q。注意：只有相同的部分才能代換，不能把 x²＋px 的值誤認成 x² 或 x 的值。 二、配方法：一次項係數取半，再平方 完全平方公式為（x＋t）²＝x²＋2tx＋t²。反過來看，若要把 x²＋px 配成平方，括號內的常數應是 p 的一半，因此： x²＋px＝（x＋p／2）²－p²／4。 例如，x²－6x＝（x－3）²－9。因為（x－3）²展開後多出 9，所以必須再減去 9，才能維持原式不變。配方不是任意增加常數，而是透過「加上多少，就減去多少」保持等值。 若已知式已經含有 x²＋2tx，目標又是（x＋t）²，就只需補上 t²。例如 x²＋2tx＝k 時，可直接得到（x＋t）²＝k＋t²。 另一個角度：已知 x²＋px＋q＝0，也可以直接在方程式上配方，寫成（x＋p／2）²＝p²／4－q，左邊正是所求的平方，右邊就是答案。 三、目標是乘積時，先展開找共同部分 遇到（a－m）（a－n），先利用分配律展開： （a－m）（a－n）＝a²－（m＋n）a＋mn。 接著比較已知方程式中的平方項與一次項。若已知 a²－（m＋n）a－k＝0，便有 a²－（m＋n）a＝k，因此目標乘積等於 k＋mn。 例如，已知 v²－5v－2＝0，則（v－2）（v－3）＝v²－5v＋6＝2＋6＝8。也可以將目標寫成（v²－5v－2）＋8，再利用括號內等於零求值。 這兩種寫法本質相同：一種是移項後代換，另一種是湊出等於零的已知式。選擇符號較清楚、計算較短的方式即可。 小技巧：目標式兩個因式的常數相加（m＋n）若恰好等於已知式一次項係數的相反數，就是在提示「展開後可整組代換」。 四、平方非負與恆成立不等式 對任何實數 t，都有t²≥0，且 t²＝0 當且僅當 t＝0。這是利用配方法證明不等式的基礎。 判斷 L≥R 是否恆成立，可以先移項成 L－R≥0，再將左式配成平方。如果得到「非負倍數的平方」加上「非負常數」，就能確認對所有實數成立。 例如，x²＋6x＋10＝（x＋3）²＋1≥1，因此它恆大於零，最小值為 1，於 x＝－3 時取得。又如 a²＋b²－2ab＝（a－b）²≥0，所以 a²＋b²≥2ab，等號在 a＝b 時成立。 常見可由平方非負推得的恆真不等式（a、b、c 為任意實數）： a²＋b²≥2ab：移項得（a－b）²≥0，等號在 a＝b 時成立。 （a＋b）²≥4ab：移項得（a＋b）²－4ab＝（a－b）²≥0。 a²＋1≥2a：移項得（a－1）²≥0，是上式取 b＝1 的特例。 a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ca：移項後乘以 2，得（a－b）²＋（b－c）²＋（c－a）²≥0，等號在 a＝b＝c 時成立。 整理後的形式可以得到的結論判斷關鍵 （x－h）²恆大於或等於零x＝h 時等於零 （x－h）²＋k，k＞0恆大於零最小值為 k （x－h）²－k，k＞0不恆大於或等於零代入 x＝h 即得負值 －（x－h）²恆小於或等於零平方前的負號會改變判斷 多個平方的和恆大於或等於零每個平方都為零時才等於零 五、恆真命題必須涵蓋所有允許的實數 「a、b、c 是實數」包含正數、零與負數。要證明恆真，必須說明所有允許的取值都成立；要推翻恆真，只需要找到一組不成立的取值。 敘述類型化簡或檢驗方式結論 一次等式，如 4＋2a＝6a移項化簡得 a＝1只在特定值成立，不是恆真 a＋b≥a－b兩邊同減 a，得 2b≥0，即 b≥0b 為負數時不成立，不是恆真 |a|＋|b|＝|a＋b|取 a＝1、b＝－1，左邊 2、右邊 0不是恆真；只有 ab≥0 時才相等 |a|＋|b|≥|a＋b|三角不等式恆真 可移項配成平方和的不等式化成（ ）²＋（ ）²≥0恆真 判斷順序建議：先化簡，看能否變成「對某變數的條件」（如 b≥0、a＝1），若是，就不是恆真；再配方，若能化成平方和≥0，就是恆真。 常考陷阱 完全平方漏掉常數項：（x＋1）²＝x²＋2x＋1，不能只寫成 x²＋2x，也不能誤寫成 x²＋1。展開後要同時檢查平方項、一次項及常數項。 移項後正負號錯誤：x²＋px－k＝0 應得到 x²＋px＝k。錯誤選項常故意給出正確答案的相反數，代換前先把等式整理完整。 乘積展開的中間項算錯：（a－m）（a－n）的一次項是－（m＋n）a，常數項是＋mn；兩個負常數相乘會得到正數。 以為有兩個根就有兩個答案：目標式若可化成已知方程式加上一個常數，兩個根會得到同一結果，不必分別代入。 平方值選了負數：求（x＋t）²的值時，答案必定≥0，負數選項可直接刪去。 把非負誤認為恆正：平方可以等於零，所以 t²＞0 並非對所有實數成立。看到「＞」或「≥」，要特別檢查平方為零時的情形。 忽略平方前的係數：負數乘上平方會小於或等於零，不能只看到平方就判定整式非負。 把任意實數當成正數：a＋b≥a－b 這類式子看起來「加比減大」，但化簡後只等價於 b≥0，b 為負數時就不成立。 將絕對值的三角不等式寫成等式：|a|＋|b|＝|a＋b| 需要 ab≥0 的額外條件；正確的恆真關係是「≥」。 只代幾個數就認定恆真：代數字只能用來找反例；要確認恆真，須移項並配成平方和，說明對所有實數都成立。 記憶口訣 求值先看式，展開找相似；一次係數半，平方補又還。 平方必非負，等號看歸零；恆真查全域，反例一組行。