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學習重點 先辨認被除數與除數的位置：和或差在被除數時，可以分別除以同一個非零數；和或差在除數時，不能拆開。 把除法改成乘以倒數，判斷乘除混合算式和括號改寫是否等值。 分清兩種結構：「連除等於除以除數的乘積」，以及「除以一個商等於乘以倒轉的商」。 能用具體數值驗證等式，並知道「一個例子成立」不能證明恆等式，「一個反例」就能推翻恆等式。 能說明除法對被除數的加、減法可以分配，但沒有乘法那種左右兩側都成立的分配律。 核心觀念 一、先看清楚：誰被除？誰是除數？ 在 a÷b 中，a 是被除數，b 是除數，b 不可為 0。判斷能不能拆括號，不是看到加減就分配，而是看加減運算在被除數，還是在除數。 以下各式都以相關除法有定義為前提。即使 a、b、c 都是正整數，b−c 仍可能是 0，所以 a÷(b−c) 還要求 b≠c。正整數相除也不一定得到整數，計算時要保留完整的商，不可只取整數商或忽略餘數。 二、被除數是和或差：可以分別除以同一數 當 c≠0 時，下列兩式都成立： (a＋b)÷c＝a÷c＋b÷c (a−b)÷c＝a÷c−b÷c 理由是除以 c 等於乘以 1/c。(a＋b)÷c＝(a＋b)×(1/c)，再用乘法對加法的分配律，得到 a×(1/c)＋b×(1/c)。減法同理。 情境理解：兩批物品合起來平均分成 c 份，和兩批各自平均分成 c 份後再把每份相加，結果相同。兩部分的除數必須相同，才能反過來合併成一個除法算式。 三、除數是和或差：不能照樣拆開 下列兩種寫法不是恆等式： a÷(b＋c)≠a÷b＋a÷c（一般情形） a÷(b−c)≠a÷b−a÷c（一般情形） 左邊分別是 a 乘以 1/(b＋c)、1/(b−c)，不能改成 a 乘以 (1/b＋1/c)、(1/b−1/c)。整個和或差的倒數，不等於各部分倒數的和或差。 反例：24÷(8−2)＝4，但 24÷8−24÷2＝3−12＝−9，兩邊不同。只要有一組讓兩邊都有意義的數值使等式不成立，就足以否定它是「對任意正整數都成立」的等式。所謂「除法對減法不具分配性」，指的正是除數為差時不能拆開。 四、如何說明「除法對加法有沒有分配律」 乘法的分配律左右兩側都成立：(a＋b)×c＝a×c＋b×c，且 c×(a＋b)＝c×a＋c×b。要判斷除法是否也有分配律，必須同時檢查「和作為被除數」與「和作為除數」兩種形式，不能只檢查其中一種。 檢查形式具體計算可得結論 和作為被除數(a＋b)÷c(12＋8)÷4＝5；12÷4＋8÷4＝3＋2＝5兩邊相等；此形式可用乘以倒數證明一般成立。 和作為除數c÷(a＋b)12÷(4＋2)＝2；12÷4＋12÷2＝3＋6＝9兩邊不相等，一個反例就能否定此形式普遍成立。 申論作答時，對兩個算式都要寫出左右兩邊各自的計算結果、是否相等、最後結論。結論應寫成：被除數的和可以分別除以同一數，所以 (a＋b)÷c＝(a÷c)＋(b÷c) 成立；除數的和不能這樣拆，所以 c÷(a＋b)＝(c÷a)＋(c÷b) 不成立。兩式沒有同時成立，因此除法對加法沒有分配律（只有被除數一側可以分配）。 不要只寫「除法沒有分配律」就結束，也不要因此說 (a＋b)÷c 的拆分是錯的。 五、乘除混合：先轉成乘法，再判斷括號 乘法與除法屬於同一優先層級，沒有括號時由左至右計算。因此 a÷b÷c 的意思是 (a÷b)÷c，不是 a÷(b÷c)。除法沒有結合律，不能任意移動括號。 原式正確等值式判斷理由 a×b÷ca×(b÷c)＝(a÷c)×b都等於 a×b×(1/c)。 a÷b÷c、(a÷b)÷ca÷(b×c)＝a÷c÷b連續乘以 1/b 和 1/c，等於除以 b×c。 a÷(b÷c)a÷b×c＝a×c÷b除以 b/c，等於乘以倒數 c/b。 a÷b×ca×c÷b＝a×(c÷b)等於 a×(1/b)×c，c 在分子，不是在除數。 例如，48÷6÷2＝4，而 48÷(6÷2)＝16；48÷6×2＝16，而 48÷(6×2)＝4。只差括號位置，數值就不同。最穩的檢查方法是把每個除法改成乘以倒數，再看每個數最後在「分子」還是「分母」。 常考陷阱 把除數中的加減拆開：a÷(b＋c)、a÷(b−c) 不能寫成 a÷b＋a÷c、a÷b−a÷c。先圈出整個除數再判斷。這類選項常是「哪一個等式錯誤」的答案。 把正確的被除數拆分也否定：(a−b)÷c＝a÷c−b÷c 是對的。不可籠統背成「除法遇到加減都不能拆」。 連除時把除數相加：a÷b÷c 應合併為 a÷(b×c)，不是 a÷(b＋c)。兩次平均分配，份數要相乘。 把連除改成除以一個商：(a÷b)÷c 和 a÷(b÷c) 一般不同。前者 c 在分母，後者 c 跑到分子。 把 a÷b×c 看成 a÷(b×c)：由左至右計算時，c 是乘上去的，應在分子。 以為乘除可以任意交換：a÷b 一般不等於 b÷a。要先改成乘以倒數，才能用乘法交換律，而且移動的是完整因數（例如 1/b），不能只交換字母。 用沒有意義的算式當反例：檢查 a÷(b−c) 時，不可選 b＝c。反例必須讓兩邊都有意義，才能用數值不相等否定等式。 用一個成立的例子證明恆等式：代入一組數值兩邊相等，只代表這組數成立。要證明一般成立，應用「除以 c＝乘以 1/c」加上乘法分配律說明。 記憶口訣 「被除加減可分開，除數加減別亂拆；連除合成除以積，除以分數要倒轉。」 作答順序：先看括號，再找除數；改乘倒數，看上看下（分子分母）。