雞兔同籠的假設與消去

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建立於 2026年11月10日

學習重點 辨認「兩類數量未知」的問題，找出兩個能共同決定答案的數量關係。只有兩句敘述，不代表一定能求解。 掌握假設法的核心：總個數固定時，先假設全部為同一類，再用「總量差÷每替換一個的差」求出替換的數量。 能解釋每一步算式的意義，尤其要分清楚「金額差」與「單價差」，以及算出來的商是哪一類的數量。 運用表列觀察固定總數下的增減規律，並把表列、假設法與聯立方程式連結起來。 判斷一個問題是否和雞兔同籠結構相似：條件是否足夠，年齡、時間與倍數關係是否解讀合理，並能用國小學生能理解的方式求解。 核心觀念 一、雞兔同籠的基本結構：總個數與加權總量 典型雞兔同籠問題有兩類個體，每類各有固定的單位量。例如雞每隻有兩隻腳，兔每隻有四隻腳。郵票問題以面額作為單位量，飲料問題以單價作為單位量。情境可以改變，但「兩類數量合計」與「各類數量乘上單位量後的合計」這兩個關係不變。 設甲類有 x 個、乙類有 y 個，總個數為 N，單位量分別為 a、b，總量為 T，可以列成： x＋y＝Na×x＋b×y＝T 當 a、b 不同時，兩類個體在總個數中都算一個，對總量的貢獻卻不同，因此可以利用總量的差異反推各類數量。若兩類單位量相同，只靠總個數與總量就無法區分兩類各有多少。 廣義來說，只要用「總和」配合「倍數」或「差」兩個條件，就能求出兩個未知量，這類問題都屬於二元一次聯立方程式的應用，例如年齡和與倍數問題。 二、假設法：總量差除以單位差 假設法不是隨意猜答案。它先建立一個容易計算的情況，再逐一替換，讓總量符合實際條件。設便宜類單價為 a、昂貴類單價為 b，且 b＞a： 假設方向總量差的算法除以 b－a 後的意義 全部為便宜類實際總額－全部買便宜類的金額昂貴類數量 全部為昂貴類全部買昂貴類的金額－實際總額便宜類數量 商代表「要替換幾個」，也就是從原先的假設改成另一類的數量。求出其中一類後，還要用總個數減去它，才能得到另一類的數量。 以「5 元與 12 元郵票共 10 張，付 71 元」為例，有兩種假設方向： 假設 10 張都是 12 元郵票：12×10＝120 元，比實付多 120－71＝49 元。每把一張 12 元換成 5 元，就少付 12－5＝7 元，這個 7 是兩種郵票的價差。49÷7＝7，所以要換成 7 張 5 元郵票，12 元郵票是 10－7＝3 張。 假設 10 張都是 5 元郵票：5×10＝50 元，比實付少 71－50＝21 元。每把一張 5 元換成 12 元，就多付 7 元。21÷7＝3，這個 3 是 12 元郵票的張數，不是 5 元郵票的張數。5 元郵票是 10－3＝7 張。 驗算：5×7＋12×3＝35＋36＝71 元，張數 7＋3＝10 張，兩個條件都符合。 由此可見，不能單看商是 3 或 7 就判定它屬於哪一類，一定要先看原先假設的是哪一類。 三、表列法：固定總數下，一增一減 表列時，每一列都必須符合總個數不變。增加一個便宜類，就必須減少一個昂貴類，因此總額每次變化的是「兩類單價差」，不是任一類本身的單價。 以「紅茶每杯 25 元、奶茶每杯 40 元，共買 14 杯，花 470 元」為例，從全部買奶茶開始替換： 紅茶杯數奶茶杯數總金額 014560 元 311515 元 410500 元 68470 元 從表中可以讀出以下關係： 每增加一杯紅茶、減少一杯奶茶，總金額就減少 40－25＝15 元。例如由 3 杯紅茶改為 4 杯，總額由 515 元變為 515－15＝500 元。 如果全部都買奶茶，需要 40×14＝560 元，比實際多花 560－470＝90 元。 90÷15＝6，表示要把 6 杯奶茶換成紅茶，所以 6 是紅茶的杯數，不是奶茶的杯數。奶茶是 14－6＝8 杯。 驗算：25×6＋40×8＝150＋320＝470 元。表列法把替換過程逐步呈現，假設法則直接用除法算出替換次數，兩者使用同一個數量關係。 四、從假設法連結到消去法 由 x＋y＝N，把兩邊同乘 a，得到 a×x＋a×y＝a×N。用實際總量關係減去它，得到： （b－a）×y＝T－a×Ny＝（T－a×N）÷（b－a） 右邊的 T－a×N，就是「全部假設為甲類後，還差多少總量」；b－a 則是每替換一個所增加的量。代數中的消去，對應算術中「比較假設總量與實際總量」。教國小學生時，可以先用圖示、表列或替換的語言說明，再用算式整理，不必要求先設未知數。 五、辨認相似結構：條件是否足夠 兩個未知量要有唯一答案，必須有兩個足夠且彼此獨立的關係。以「紅筆和藍筆共買 12 枝，1 枝紅筆和 1 枝藍筆合計 22 元」為例： 「共 12 枝」提供了數量關係，相當於雞兔同籠的總個數。 「1 枝紅筆＋1 枝藍筆＝22 元」只說明兩種單價的和，既沒有分別給出單價，也沒有給出購買的總金額，所以無法建立「單價×數量的合計」這個關係。 因此紅、藍筆各買幾枝無法唯一決定，這個問題的條件不足，和雞兔同籠的結構不相同。 若要改成結構相似的問題，必須補上兩種筆各自的單價與總金額，例如「紅筆每枝 a 元、藍筆每枝 b 元，共付 T 元」，才會形成「總個數＋加權總量」的雞兔同籠結構。 六、年齡和與倍數問題：時間要一致 以「爸爸和兒子今年的年齡和為 32 歲，爸爸 12 年後的年齡是兒子年齡的 3 倍」為例，這是「總和＋倍數」的兩個條件，可以求出兩個未知量。關鍵在於倍數比較的時間：一般比較的是同一時間，也就是兩人 12 年後的年齡。 聯立方程式：設爸爸今年 F 歲、兒子今年 S 歲，則 F＋S＝32F＋12＝3×（S＋12） 解得 S＝2，F＝30。 國小學生可用的「份數」解法： 12 年後，兩人各長了 12 歲，年齡和變為 32＋12＋12＝56 歲。 12 年後爸爸的年齡是兒子的 3 倍。把兒子的年齡看成 1 份，爸爸就是 3 份，合計 4 份。 1 份是 56÷4＝14 歲，即兒子 12 年後 14 歲，爸爸 12 年後 14×3＝42 歲。 今年兒子 14－12＝2 歲，爸爸 42－12＝30 歲。 驗算：30＋2＝32 歲；12 年後 42＝3×14，兩個條件都符合。 若把題意誤解為「爸爸 12 年後的年齡是兒子今年年齡的 3 倍」，會得到 F＋12＝3S，算出兒子 11 歲、爸爸 21 歲，父子只相差 10 歲，不合常理。因此解題後要回到情境檢查答案是否合理。另外要記得：兩人的年齡差永遠不變，年齡和則每過一年增加 2 歲。 常考陷阱 把商誤認為原先假設那一類的數量：假設全部為昂貴類時，差額÷單價差求得的是便宜類；假設全部為便宜類時，求得的才是昂貴類。例如假設全部是 5 元郵票，算出的 3 是 12 元郵票的張數；假設全部是奶茶，算出的 6 是紅茶的杯數。 把單價差說成其他意思：除數 7、15 是兩類單價的差，也就是每替換一個所變動的金額，不是某種物品的張數或價格。 把總量差當成物品數：49 元、90 元是總金額的差，必須再除以單價差，才得到張數或杯數。 用某一類單價當除數：固定總數的替換是「少一個原類、多一個另一類」，除數必須是兩類單位量之差。 表列只增加一類，忘了減少另一類：這樣總個數就變了，不再符合題目條件。 弄錯「多花」的基準：假設全部買昂貴類所多花的金額，是和實際總額比較的結果，不能直接當成某一類商品的總價。 看到兩種物品就套公式：要檢查總數、各自的單位量與總量是否都已知。「兩種單價的和」不能當成購買總價，條件不足就無法求解。 年齡倍數只加一個人的年數：比較 12 年後的倍數關係時，兩人都要加 12 歲，年齡和要加 24 歲。 算出答案卻沒驗算：數量應為非負整數，並同時符合兩個條件；年齡還要符合常理。出現負數、非整數或不合理答案時，要回頭檢查題意與計算。 記憶口訣 「總數固定，一換一；總差除單差，求出替換量。」 「全低求高，全高求低；求得一類，總數再減。」 「年齡和，年年加二；倍數比，時間要齊。」