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學習重點 將長方形的面積與周長公式轉成二元方程式 xy＝2(x＋y)，並記下邊長為正整數、x＞y 等限制。 掌握「補上常數，湊成乘積」的因式分解技巧（西蒙因式分解），把 xy－2x－2y＝0 改寫為 (x－2)(y－2)＝4。 利用整數的因數配對列出候選解，再依正負、大小與幾何意義篩選，得到長 6 公尺、寬 3 公尺。 申論作答須呈現列式、變形、篩選與驗算，並區分面積與周長的單位。 核心觀念 一、先把幾何條件翻成代數關係 設長方形的長為 x 公尺、寬為 y 公尺，則面積為 xy 平方公尺，周長為 2(x＋y) 公尺。題意說面積與周長的數值相等，就是在指定單位下，令兩個計算結果相等： xy＝2(x＋y)，即 xy＝2x＋2y。 兩種寫法都是正確的關係式。列式時，不能只寫等式而忽略變數限制。題目只說 x、y 為整數，但長與寬是實際長度，所以必有 x＞0、y＞0，也就是 x、y 為正整數；另有 x＞y，表示兩邊不能相等，而且較大的數必須對應 x。 題意資訊代數表示作用 長方形的面積xy長乘以寬 長方形的周長2(x＋y)四條邊長的總和 面積與周長的數值相等xy＝2x＋2y建立主要關係式 邊長為整數（長度必為正），且長大於寬x、y 為正整數，x＞y篩選符合題意的解 二、補上常數，把加減式改成乘積 直接從 xy＝2x＋2y 猜測整數解，容易漏掉可能情形。更有效的方法是先移項： xy－2x－2y＝0。 觀察乘法展開式： (x－2)(y－2)＝xy－2x－2y＋4。 原式左邊與這個展開式只差常數 4，因此在等號兩邊同時加上 4，就得到： xy－2x－2y＋4＝4，故(x－2)(y－2)＝4。 這類技巧常稱為西蒙因式分解技巧，也可理解成補項配成乘積。重點不是死背答案，而是看出：兩個括號中的常數相乘，正好就是需要補上的常數。變形前後必須維持等式成立，不能只在其中一邊加數。 如果只要求 (x－2)(y－2) 的值，到這裡就已完成，答案為 4；不必先求出 x、y 再代入計算。 三、一般形式：交叉辨認係數，補上常數乘積 遇到相似的等式，可使用下列恆等式： (x－a)(y－b)＝xy－bx－ay＋ab。 因此，若已知 xy＝bx＋ay＋c，先移項，再於兩邊同加 ab，便得到： (x－a)(y－b)＝ab＋c。 要特別注意係數的位置：x 的係數是－b，y 的係數是－a。因為展開時，x 要乘上第二個括號中的－b，y 要乘上第一個括號中的－a。當兩個係數相同時（如本單元的 2 與 2）不易察覺差別，係數不同時就很容易放錯位置。 若不確定因式分解是否正確，最可靠的方法是把括號重新展開，逐項核對 xy 項、x 項、y 項與常數項。 四、先判斷正負，再列舉整數因數 由 (x－2)(y－2)＝4 可知，兩個整數因數的乘積為正，所以兩者同號。但在列因數前，可以利用原式進一步確認兩者都大於零。 將 xy＝2x＋2y 整理成 y(x－2)＝2x。由於 y＞0、2x＞0，可知 x－2＞0，因此 x＞2。同理，由 x(y－2)＝2y 可得 y＞2。配合整數條件，兩邊長都至少為 3。 （若未先做此推論，也可把負因數配對列出檢查：(－1,－4)、(－2,－2)、(－4,－1) 分別還原為 (1,－2)、(0,0)、(－2,1)，都出現零或負的邊長，全部不合。） 所以 x－2 與 y－2 必須是正整數，只須考慮 4 的正因數配對： x－2y－2還原的 x、y是否符合 x＞y 14x＝3，y＝6不符合大小順序 22x＝4，y＝4不符合嚴格大於 41x＝6，y＝3符合 也可以直接利用 x＞y，推出 x－2＞y－2，於是只保留較大因數在前的配對。由 x－2＝4、y－2＝1，還原得到長為 6 公尺、寬為 3 公尺。 這裡列舉的是 x－2、y－2 的值，並非直接列舉 x、y。完成因數配對後，務必把各自減去的 2 加回來。 五、代回原式，完成申論驗算 候選解必須同時符合原等式與所有限制。代入 x＝6、y＝3，面積為 6×3＝18 平方公尺，周長為 2×(6＋3)＝18 公尺，數值確實相等；兩個邊長也都是正整數，且 6＞3。 申論解題可依列關係式 → 補項因式分解 → 因數配對 → 條件篩選 → 寫出答案與單位的順序呈現。如此不僅能交代答案，也能說明為何沒有其他符合條件的整數解。 常考陷阱 把周長寫成 x＋y：x＋y 只計算一組長與寬；完整周長應為 2x＋2y，關係式應為 xy＝2x＋2y。 把面積與周長當作相同物理量：平方公尺與公尺是不同單位。題意比較的是指定單位下的數值，作答時仍須分別寫出正確單位。 移項後直接拆成乘積：xy－2x－2y 並不等於 (x－2)(y－2)，後者展開會多出 4。必須兩邊同加 4。 誤認乘積為 0：原式移項後雖等於 0，但補項之後右邊也變為 4，所以 (x－2)(y－2) 的值是 4，不能使用「兩因式相乘等於零」的判斷。 將因數直接當成邊長：配對得到 4 與 1，代表的是 x－2 與 y－2；邊長須各加 2，得 6 與 3。 漏掉相等配對或未說明排除理由：2 與 2 也是 4 的正因數配對，對應的正方形（邊長 4）符合數值相等條件，但不符合 x＞y，應依限制排除。 長寬對調：(3,6) 雖滿足等式，但題目規定 x＞y，x 必須是較大的 6。 只因乘積為正就認定兩因數皆正：正乘積也可能來自兩個負數。應先用正邊長與原等式推出 x＞2、y＞2，或逐一檢查負因數配對後排除。 只找到一組就宣稱唯一：須透過完整因數配對，或結合大小關係限制配對，才能確定符合條件的解只有一組。 記憶口訣 面積長乘寬，周長兩倍和；移項補乘積，因數逐對找；減幾加回幾，正整大小查。