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學習重點 能以z＝（個人原始分數－團體平均數）÷團體標準差，比較同一學生在不同科目的相對表現；z 越大，相對地位越高。 區分原始分數與相對地位：分數相同，不代表在各科團體中的位置相同；原始分數較高，也不一定相對表現較好。 掌握全體加減常數的效果：平均數同幅增減，標準差、個人排序、信度與效度均不變。 辨別「每人固定加分」與「部分試題一律給分」：後者會消除指定試題的得分差異，平均數提高、總分標準差通常縮小，信度與效度也可能隨之改變。 核心觀念 一、標準分數：把不同科目換成共同的比較單位 原始分數受到試題難度、團體程度與分數分散情形影響，不能只看分數大小，就判斷學生在哪一科表現較突出。z 分數以標準差為單位，表示個人成績距離團體平均數有多遠。 z＝（x－μ）÷σx：個人原始分數；μ：所屬團體平均數；σ：所屬團體標準差。試題也常以 M 表示平均數、SD 表示標準差。 z 分數代表意義 z＞0高於團體平均數。 z＝0恰好等於團體平均數。 z＜0低於團體平均數。 z＝1.5高於團體平均數 1.5 個標準差。 比較同一學生不同科目的相對表現時，先分別計算各科 z 分數，再比較大小。z 越大，表示相對於該科參照團體的表現越突出。即使各科原始分數不同，也能用共同的標準差單位比較。 例如，甲科得分 84 分，平均數 78 分、標準差 6 分，z＝6÷6＝1；乙科得分 75 分，平均數 63 分、標準差 8 分，z＝12÷8＝1.5。乙科原始分數較低，但相對表現較好。 若兩科原始分數相同，仍須分別計算。例如，同樣得到 80 分，一科平均數 65 分、標準差 10 分，z＝15÷10＝1.5；另一科平均數 70 分、標準差 8 分，z＝10÷8＝1.25。前者的相對地位較高。 二、讀表比較：先找參照團體，再算離均差 遇到多科成績表，依序找出各科的個人分數、平均數、標準差，先算「個人分數－平均數」，再除以該科標準差。不能只挑個人得分最高、超過平均最多，或標準差最小的科目。建議把每科 z 值都算出來列在旁邊，再挑最大者。 參照團體也要讀清楚：使用班級平均數與標準差，得到的是相對於班級的表現；使用全校同年級資料，得到的是相對於全校同年級的表現。不同科目的平均數與標準差不可混用。 計算 z 分數本身不要求分數呈常態分配，但標準差必須大於零。題目若明示各科均呈常態分配，則 z 越大，所對應的百分等級也越高，更可直接以 z 值判斷團體相對地位。若各科分配形狀不同，相同 z 分數不一定對應相同百分等級。 三、每人加減常數：整體平移，分散程度不變 若所有學生都加上同一常數 c，新分數為 X′＝X＋c，則新平均數＝原平均數＋c，標準差不變。因為每個人與平均數同時增加 c，所以各自偏離平均數的距離沒有改變。 例如，全體加 10 分，平均數就增加 10 分（不會降低）；學生彼此的分數差距、排序、變異數、標準差及 z 分數均不變。及格人數可能增加，但不能因此推論測驗信度提高。 單純加常數不會改變相關係數，因此在此類題目的統計脈絡下，信度係數及與效標的相關不變，測驗信度與效度均不變。這不表示學生能力提高，也不表示原本的測驗內容因此更適切。 上述結論以每人確實增加相同分數為前提。若加分後另設滿分上限，使部分學生加不到同樣分數，就不再是單純的加常數轉換。 四、線性轉換：平均數看乘加，標準差只看倍率 一般線性轉換寫作Y＝aX＋b，其中 a 不為零。新平均數為 aμ＋b，新標準差為 |a|σ。加減常數只移動位置；乘上常數則改變分數差距。 當 a＞0，個人排序與 z 分數不變，與其他變項的相關係數也不變。若 a＜0，排序會反轉，與未轉換變項的相關係數符號會反向，因此不能把「線性轉換不影響相關」毫無條件地套用到負倍率。 五、部分試題一律給分：消除試題差異 若指定試題（例如超出命題範圍的題目）改為全體得到相同分數，這些試題就不再具有得分變異，也無法區分學生在這些試題上的表現。原本答對者沒有增加分數，原本答錯者則獲得補分，因此每個人的總分增加量可能不同。 若一律給該題滿分，平均數不會降低；只要原先有人未得滿分，平均數就會提高。由於原本答錯者（通常是低分者）獲得補分，高低分之間的差距被拉近，總分標準差縮小是較可能的結果。 但總分變異還涉及試題間的共變關係，不能將標準差縮小說成任何資料下都必然成立。考題使用「較可能」時，應掌握差異減少的典型方向。由於實際有效計分內容改變，信度與效度也可能改變，不能保證維持不變。 比較項目全體固定加分指定試題一律給滿分 增加的分數人人相同。依原先該題得分而不同。 平均數增加固定分數。不降低，通常提高。 標準差不變。通常縮小。 排序不變。可能改變。 信度與效度不變（單純平移不改變相關係數）。可能改變，不能說不變。 常考陷阱 「原始分數最高，相對表現就最好」：須以各科平均數與標準差換算 z 分數後比較。 「兩科同分，相對地位相同」：同分只代表原始分數相同，不代表距離各科平均數的標準差數相同。 「超過平均越多就越好」：離均差還要除以標準差，才能消除分散程度不同的影響。 「各科不同，所以無法比較」：若題目問團體相對地位，且提供平均數與標準差，就能比較 z 分數。 「平均數提高，標準差就縮小」：兩者沒有這種必然關係；全體固定加分時，平均數提高而標準差不變。 「每人加分後，得分平均數降低／標準差縮小」：皆錯；平均數提高，標準差不變。 「不及格人數減少，表示信度提高」：及格率與測量結果的一致性不同；固定加分時信度、效度都不變。 「一律給分就是每人加同樣分數」：要看原先得分；補足指定試題分數，使每人的增加量不同。 「爭議題一律給分，信度或效度不變」：有效計分內容與分數結構已改變，不能套用固定加分的結論；此情境較可能的結果是標準差縮小。 「試題一律給分，平均數降低」：給分只會補分，平均數不會降低。 記憶口訣 「先減平均，再除標差；z 值越大，相對越佳。」 「人人加常數，平均跟著走，標差信效原處留；試題全給分，題目無差異，總分常縮差。」