阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 區分集中量數與變異量數：前者描述成績的代表位置，後者描述分散程度與學生間的異質性。 判讀偏態要看尾巴延伸方向：右側長尾為正偏，左側長尾為負偏，不能只看多數學生集中在哪一端。 掌握平均數與中位數的差別：平均數會受極端分數牽動，中位數主要取決於資料排序後的位置；由兩者大小可推測常見的偏態方向。 依分布特性選代表值；分數分布範圍很廣、有極端值或偏態時，中位數通常較穩健。 比較兩個獨立群組的平均成績是否有統計顯著差異，要使用平均數差異檢定；在所列分析方法中，應辨認出變異數分析。 核心觀念 一、集中與分散：代表位置不等於異質性 描述一班學生的成績，至少要回答兩個問題：「整體大約落在哪裡？」與「學生彼此差多少？」集中量數回答前者，變異量數回答後者。兩班即使平均數相同，也可能一班成績非常接近，另一班高低分差距很大。 類別統計量意義與用途 集中量數平均數總分除以人數，納入每筆分數，容易受極端值影響。 集中量數中位數，又稱中數資料排序後位於中央的數值，較不受極端值影響。 集中量數眾數出現次數最多的數值；可能不只一個，未必位於分布中央。 變異量數標準差描述分數圍繞平均數的分散程度，單位與原始分數相同。 變異量數全距最高分減最低分，僅反映兩端差距，容易受極端值影響。 要了解不同學校或班級學生的異質性，應觀察標準差等變異量數。在相同測量工具與分數尺度下，標準差越大，表示學生分數越分散、異質性越高；標準差越小，表示成績越接近、同質性越高。平均數、中數、眾數描述的是整體成績位置，不能代表異質性。 二、偏態方向：用長尾判斷正負 偏態是分布不對稱的情形，命名依據是尾端延伸的方向。少數極端分數會把尾巴拉長，因此「多數學生的位置」與「偏態命名的方向」通常相反。 分布型態多數分數集中處長尾方向典型情境 正偏，又稱右偏低分端向高分的右側延伸多數得分偏低，少數得分很高；常見於題目太難。 負偏，又稱左偏高分端向低分的左側延伸多數接近滿分，少數得分很低；常見於題目太簡單。 對稱分布中央附近左右大致對稱若為常態分配，平均數、中位數與眾數相同。 在典型的單峰偏態分布中，平均數容易被長尾端的極端值拉動，因此常見正偏：平均數＞中位數＞眾數；負偏：平均數＜中位數＜眾數。這是常見分布的判讀規則，不是所有資料都必然符合的定律，但考題通常依此作答。 多數學生接近滿分，只有少數低分，表示左側被拉出長尾，應判為負偏。少數低分也不等於雙峰；雙峰是指分布出現兩個明顯高峰，兩位極低分的學生不足以構成第二個高峰。 三、平均數與中位數：先看排序位置 平均數是計算所得的平衡位置，中位數則是排序後的中央位置，也就是第五十百分位數。資料筆數為奇數時，中位數為中央那一筆；筆數為偶數時，中位數為中央兩筆數值的平均。 若已知五分之三，也就是百分之六十的學生成績低於平均數，代表超過半數的分數都在平均數之下，排序後的中央位置也落在平均數以下，因此可確定中位數小於平均數。例如平均數為八十五分，便能判斷中位數低於八十五分，不必知道每位學生的分數，所以不是「無法判斷」。 反過來，若超過半數的分數高於平均數，中位數就高於平均數。進一步推論偏態時：中位數小於平均數，表示平均數被少數高分往右拉，常見判讀為正偏；中位數大於平均數，常見判讀為負偏。 已知條件中位數與平均數常見偏態判讀 超過半數低於平均數中位數＜平均數正偏（右偏） 超過半數高於平均數中位數＞平均數負偏（左偏） 恰好一半高於、一半低於中位數≒平均數大致對稱 四、代表值的選擇：極端值與偏態優先考慮中位數 分布大致對稱且沒有明顯極端值時，平均數能利用全部分數，常用來描述整體表現。若少數分數特別高或特別低，平均數可能被拉離多數學生的位置，此時中位數通常較適合作為代表值。 考題若以「分數分布範圍很廣」暗示可能存在極端分數，並要求在平均數、中位數、眾數與標準差之間選擇，應選中位數。中位數只看排序位置，不受兩端極端分數的數值大小影響。 眾數回答的是「哪個分數最常出現」，未必能代表全班整體位置，且資料分散時可能不穩定；標準差回答的是「分數有多分散」，屬於變異量數，根本不是集中量數，不能當成整體成績的代表值。 五、群組比較：辨認平均數差異的分析方法 比較同一班中男、女學生的平均成績，每位學生只屬於其中一組，兩組成員沒有配對關係，屬於兩組獨立樣本的平均數比較。題目問「是否具有統計上的顯著差異」，需要進行推論統計，不能只看兩組平均數是否不同。 兩組獨立平均數可使用獨立樣本 t 檢定；單因子變異數分析也能比較兩組平均數，並非只能用於三組以上。在共變數分析、效度分析、變異數分析與項目分析之間，應選變異數分析。實際使用時仍須考量觀察值獨立、常態性與變異數同質性等條件。 分析方法主要用途 變異數分析比較群組平均數，利用組間與組內變異的相對大小判斷差異是否顯著。 共變數分析先以統計方式控制共變項（例如前測成績），再比較調整後的群組平均數。 效度分析檢視測驗是否測到想測的特質，屬於測驗品質分析。 項目分析檢視試題的難度、鑑別度及選項表現，屬於試題品質分析。 六、易混淆名詞：不是偏態類型的選項 描述分布形狀的名稱是正偏、負偏、常態分配、雙峰分配等。T 分數是標準分數的一種，將 Z 分數轉換為平均數 50、標準差 10 的分數，用來表示個人在團體中的相對位置；偏準誤並非描述分布形狀的名稱。兩者都不是「成績集中在低分」這類情境的答案。 常考陷阱 「低分多，所以是負偏」：把集中位置當成偏態方向。低分集中、高分端拖長尾，應為正偏。 「多數接近滿分，所以是常態」：高分集中不代表左右對稱；少數低分拉長左尾，應為負偏。 「有兩位很低分，所以是雙峰」：雙峰須有兩個明顯高峰，少數極端值只會形成長尾。 「只知道平均數，中位數無法判斷」：只要知道超過半數低於（或高於）平均數，就能確定中位數小於（或大於）平均數。 「平均數一定把人數分成兩半」：能把人數分成兩半的是中位數，不是平均數。 「平均數越高，異質性越高」：混淆集中與分散。異質性應參照標準差等變異量數，中數、眾數、平均數都不行。 「分布很廣就用平均數，因為它用到全部分數」：分布廣、可能有極端值時，平均數易被拉動，應選中位數。 「標準差最能代表全班考幾分」：標準差反映分散，不能作為成績位置的代表值。 「變異數分析只能比較三組以上」：兩組也可使用；名稱雖有變異數，檢定目的是群組平均數差異。 「比較男女成績就要用共變數分析」：須有控制共變項的需求才用；題目未提及前測等控制變項時，選變異數分析。 「效度分析、項目分析可比較組別成績」：兩者是測驗與試題品質分析，不是群組平均數差異檢定。 記憶口訣 「尾巴指方向：尾右正、尾左負；低分多正偏，高分多負偏。」 「平均跟著尾巴跑：正偏平均大，負偏平均小。」 「看位置，找集中；看差距，找標準差；分布廣有極端，中位最穩定。」 「過半低於平均，中位也低於平均；兩群比平均，認明變異數分析。」