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學習重點 熟記標準分數的基準：Z分數平均數為0、標準差為1；T分數平均數為50、標準差為10。 運用T＝50＋10Z及Z＝（T－50）÷10，把不同表示方式換成同一尺度，再比較成績高低。 分清「距離平均數多遠」與「高過多少比例的人」：Z、T表示以標準差計算的位置，PR表示相對名次。 解讀班級平均時，先確認參照團體。平均T分數可以用線性關係換算；平均PR值則不能直接換算成班級原始平均分數的位置。 核心觀念 一、線性轉換的基本性質 若將原始分數X轉換成Y＝a＋bX，轉換後的平均數為a＋b×原平均數，標準差為|b|×原標準差。加減常數只會移動平均數，不改變標準差；乘以正數時，平均數與標準差都按比例放大或縮小。 當b＞0時，線性轉換保留分數的高低順序與分配形狀，只改變分數的單位和基準。Z分數與T分數都是這類正向線性轉換。 二、Z分數：用標準差表示相對位置 Z分數的公式為Z＝（個人原始分數－參照團體平均數）÷參照團體標準差。標準差不為0時，轉換後的平均數為0、標準差為1。 Z＝0：原始分數恰好等於參照團體的平均數。 Z＝1：高於平均數1個標準差。 Z＝2：高於平均數2個標準差。 Z＝－2：低於平均數2個標準差。 同一測驗、使用相同參照團體時，Z分數愈高，原始分數也愈高。正負號表示位在平均數以上或以下，絕對值表示和平均數的距離。因此，Z＝2與Z＝－2雖然離平均數一樣遠，代表的成績卻一高一低，並不相同。 三、T分數：把Z分數改成較易閱讀的尺度 T分數是Z分數的正向線性轉換，公式為T＝50＋10Z，反向換算為Z＝（T－50）÷10。T分數的平均數為50、標準差為10。 Z分數T分數相對於參照團體平均數的位置常態分配下約略PR值 －230低於平均數2個標準差約2 －140低於平均數1個標準差約16 050等於平均數50 160高於平均數1個標準差約84 1.565高於平均數1.5個標準差約93 270高於平均數2個標準差約98 作答時不要直接比較Z與T的表面數字。Z＝2應換成T＝70，所以高於T＝60；T＝65相當於Z＝1.5，所以高於Z＝1。若一人的Z＝1.5，另一人的T＝65，兩人的相對位置相同；在同一測驗且轉換基準相同時，兩人的原始分數也相同。 轉換成Z或T分數，不要求原始分數呈常態分配，也不會讓分配自動變成常態。T分數也不是百分制成績，不能用60分及格的標準解讀。 四、PR值：表示相對名次，不是答對百分比 百分等級又稱PR值，用來表示某個分數在參照團體中的相對位置。例如PR＝38，表示表現約高過團體中38%的學生；它不是高過62%的學生，也不代表答對38%的題目。遇到同分時，精確數值須依所採用的百分等級公式計算。 PR＝50對應中位數。分數呈常態分配時，平均數與中位數相同，因此PR＝50對應Z＝0、T＝50。若沒有常態分配或其他適當條件，不能一律把PR＝50當成平均數。 比較面向Z分數、T分數PR值 主要意義距離平均數多少個標準差在團體中的相對名次 轉換性質Z與T之間為線性轉換與Z、T之間通常不是線性關係 相同分數差的意義代表相同的標準差距離不代表相同的能力或原始分數差距 平均數的解釋可用同一條線性公式換算不能直接換成原始平均分數的位置 常態分配下，Z＝1.5與T＝65都約對應PR＝93.3，高於PR＝50。因此，三人分別得到Z＝1.5、T＝65、PR＝50時，前兩人同高，PR＝50者是三人中最低的。這裡的「最低」只是三人之間的比較，不等於不及格。 Z與T可以直接套公式互換。要由Z或T求PR，則必須知道分配情形；常態分配時可查標準常態分配表得到累積比例，不能把Z或T的數字直接當成PR。 五、班級平均T分數：先確認參照團體 若所有學生都以相同參照團體轉換，則班級平均T＝50＋10×班級平均Z。線性轉換可以先逐人換算再取平均，也可以先取平均再換算，兩種做法結果相同。 班級平均T＝50：該班原始平均分數等於參照團體平均數，不能說高於平均。 班級平均T＞50：該班原始平均分數高於參照團體平均數。 班級平均T＜50：該班原始平均分數低於參照團體平均數。 例如以全年級為參照團體，某班平均T＝54.50，換算後該班平均Z＝0.45，也就是該班原始平均高於全年級平均0.45個標準差。全年級的平均T是50，等於各班平均T依人數加權平均的結果。這個班高於50，必有其他班低於50，所以它不可能是全年級平均最低的班；但只憑這項資料，無法確定它是否最高，也無法判斷原始成績是否及格。 參照團體必須一致。某生的原始分數剛好等於班平均時，若以班級本身的平均數與標準差轉換，該生Z＝0、T＝50；若改用全市常模，就不能只因「等於班平均」而判定T＝50。 常考陷阱 「平均T＝50表示高於平均」：錯。50就是T分數的平均位置，必須高於50才表示高於參照團體平均。 「T＝60比Z＝2高」或「兩者一樣」：錯。不同尺度要先換算。T＝60相當於Z＝1，低於Z＝2（T＝70）。 「Z＝1.5與T＝65可分出高低」：錯。兩者換算後位置相同，表現一樣。 「PR＝50的人表現在中間，不會最差」：要看比較對象。和Z＝1.5、T＝65相比，PR＝50是最低的。 「PR＝38表示贏過62%的人」：錯。這是把低於與高於該分數的比例弄反了。 「班級平均PR＝45，可直接斷言班級整體低於全體中位數」：推論不足。PR是非線性轉換，個人PR取平均後，不能直接當成班級原始平均所對應的PR。另外也要確認題目敘述的參照團體與施測團體是否一致。 「平均T＝54.50就是原始平均54.50分，所以不及格」：錯。T分數不是原始百分制分數。 「高於全年級平均，就是全年級最高」：錯。只能確定不是最低，不能確定是最高。 「原始總分為0～100，T分數也一定介於0～100」：錯。T分數的範圍要依轉換公式和參照團體資料判斷，與原始分數範圍不同。 「Z＝2與Z＝－2離平均一樣遠，所以成績一樣」：錯。正負號代表在平均之上或之下。 記憶口訣 「Z零一，T五十、十；先同尺，再比值。」Z的平均數0、標準差1；T的平均數50、標準差10。比較前先換成同一尺度。 「Z乘十加五十，就是T。」Z＝1→T＝60，Z＝1.5→T＝65，Z＝2→T＝70。 「PR看名次，平均別直譯；高於平均，未必第一。」PR表示相對名次，平均PR不能直接換成原始平均的位置；班級平均T高於50，只能排除最低，不能判定最高。