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學習重點 掌握0 的三種功能：標示數線原點、表示數量為無，以及標記位值中的空位。三者可以同時成立。 分清楚數字、數位與數值，理解同一數字放在不同數位，代表的數值也不同。 依計數單位的轉換方向判斷化聚：大單位變小單位是化，小單位變大單位是聚，轉換前後總量不變。 辨認「把不同單位合起來成為一個數」需要哪些知識：位值概念、數的化聚、數的合成與分解，不需要大小比較。 能將整數分解成不同單位的組合，並判斷布題能不能用整數個單位完成，是否適合建立整數化聚概念。 核心觀念 一、0 的多重意義：原點、沒有與空位 符號相同，功能可能不同。判斷 0 的意義，必須先看它所在的情境，不能把所有的 0 都解釋成「沒有」。 功能意義判斷示例 標示原點在數線上標示作為位置基準的原點。數線上標記為 0 的刻度是原點；這裡著重的是位置。 表示沒有表示所計數的物件數量為零。有 0 枝筆，表示沒有筆；這裡著重的是數量。 標記空位在十進位記數中，表示某一數位沒有相應單位，並保留其他數字的位置。102 表示 1 個百、0 個十與 2 個一，0 標記十位的空位。 空位不等於數位不存在。102 仍有百位、十位與個位，只是十位上的數字是 0。若把中間的 0 刪掉，寫成 12，1 就從百位移到十位，整個數的大小隨之改變。 因此，「0 可以表示原點」「0 可以表示沒有」「0 可以標記位值空位」都成立；三者是不同情境中的功能，可以同時被肯定。 二、位值概念：數字的位置決定它的數值 十進位記數以一、十、百、千等作為計數單位，相鄰兩個計數單位之間是十倍關係。由右向左依序為個位、十位、百位、千位；同一數字每向左移一位，所代表的數值變為原來的 10 倍。 例如 4728 中，7 是一個數字符號，所在的數位是百位，表示 7 個百，數值是 700。作答時要分清楚「百位上的數字是多少」與「百位上的數字代表多少」：前者答 7，後者答 700。 多位數可以依位值分解，再把各部分合成：4728＝4×1000＋7×100＋2×10＋8。這同時呈現了位值與數的合成、分解。 三、數的化聚：改變單位，不改變總量 化是把大計數單位換成小計數單位，例如 1 個百化成 10 個十，或化成 100 個一。聚是把小計數單位合成大計數單位，例如 10 個一聚成 1 個十，10 個十聚成 1 個百。 判斷時抓兩件事：題目「原本」用什麼單位，要「換成」什麼單位。從小單位出發換成大單位是聚；從大單位出發換成小單位是化。 比較項目化聚 轉換方向大單位轉成小單位小單位轉成大單位 同一總量的單位個數改用較小單位，個數增加改用較大單位，個數減少 錢幣表徵將百元換成等值的十元或一元將一元湊成等值的十元或百元 問法示例「3 個百元、5 個十元、9 個一元是幾個一元？」「359 個一元是幾個百元、幾個十元、幾個一元？」 不能只看題目先出現大數或小數，也不能用最後寫出的數字較大或較小來判斷，要看單位的轉換方向。 四、合成不同單位時，可能需要重新化聚 不同計數單位的數量相加，須先理解每個單位的大小，再進行合成。例如「2 個千、6 個百、15 個十」表示 2000＋600＋150。15 個十可以聚成 1 個百和 5 個十，因此合成後是 2750。 完成這類任務涉及三項知識：位值概念讓學生知道每個單位代表多少；數的化聚讓學生把超過 9 個的單位重新組合；數的合成與分解讓學生將各部分整合成一個數。 數的大小比較並非這類任務必備的作答知識。大小比較通常處理兩數誰大、誰小或排列順序；將數個單位合成一個數，並沒有要求執行這項任務。 五、整數化聚布題：不必列齊所有單位，但須能以整數個數表示 建立化聚意義，不能只練習按千、百、十、一填入各位數字，也要讓學生接觸省略部分計數單位的分解，理解較大單位可以換成較小單位。單位列出的先後順序（先寫一再寫百，或先寫千再寫一）不影響布題是否適合。 以 4637 為例： 使用的單位可填寫的方式是否適合 千、百、十、一4 個千、6 個百、3 個十、7 個一適合（標準位值分解） 一、十、百（缺千）7 個一、3 個十、46 個百適合（千化成百） 一、千（缺十、百）637 個一、4 個千適合（百、十化成一） 千、十（缺一）個位是 7，整數個千與整數個十無法湊出不適合 判斷關鍵是最小的那個單位：所列單位中最小的是一，任何整數都能表示；若最小單位是十，原數個位必須是 0；若最小單位是百，十位與個位都須是 0。當各單位個數限於非負整數時，整數個千與整數個十相加，結果必為 10 的倍數，不能表示個位非 0 的整數。這種無法完成的填空，不適合作為建立整數化聚意義的布題。 此外，若沒有規定各單位的個數範圍，分解方式可能不只一種。同一總量可以保留較多小單位，也可以把小單位聚成大單位；不能逕自要求每個空格都只能填 0 到 9。 常考陷阱 「合起來就是聚」：「合起來」也可能只是在描述數的合成。化聚的判斷關鍵是計數單位是否轉換，以及轉換方向，不能只憑用語。 「把一元分成百元、十元、一元，所以是化」：這是在將小單位聚成大單位。「分成幾類」的日常語意，不能取代化聚的數學定義。 「問幾個一元，答案數字變大，所以是聚」：從百元、十元換成一元，是大單位化成小單位，屬於化；單位個數變多正是化的特徵。 「所有單位的個數都必須小於 10」：標準十進位寫法中，每位只寫一個數字；但分解表示可以有 15 個十、46 個百等，之後再依需要化聚。 「只用部分單位一定不適合」：省略千位、百位或十位單位，仍可能藉由化成較小單位表示完整數量。須檢查是否可行，不能只看單位有沒有列齊。 「只用千與十也能表示任何整數」：若個數限於非負整數，結果一定是 10 的倍數；個位非 0 時就不成立。不可擅自改填小數來滿足整數化聚的要求。 「合成多位數必須用到大小比較」：辨認所需知識，要看實際作答任務。理解單位、進行化聚與合成，不等於正在比較兩數大小。 「0 都只表示沒有，所以可以刪掉」：位值中的 0 還有標記空位的功能；刪除後可能改變其他數字的位置與數值。 「0 的意義只能選一種」：原點、沒有、空位是不同情境下的功能，選項同時列出三者時，三者都正確。 記憶口訣 大化小，小聚大；單位改，總量同。 數字看位置，數值乘單位；零可作原點，也能表無、占空位。 合成要靠位值、化聚、合分解；比大小，用不到。 省略單位先驗算，最小單位看尾數；只剩千十看個位。