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學習重點 認識二進位：只使用0、1兩種數字，採「逢二進一」規則；數字的值取決於所在位置。 熟記二進位位值：由右至左依序為1、2、4、8、16、32、64……，每向左一位，位值就乘以2。 掌握十進位轉二進位：可用「位值拆解法」或「除以2取餘數法」，並注意補0與餘數的讀取方向。 掌握二進位轉十進位：將各位數乘以對應位值後相加，也就是把數字為1的位置所代表的位值加起來。 養成反向驗算習慣：轉換後再換回原進位，確認數值相同，避免位數、方向或漏寫0造成失分。 核心觀念 一、進位制改變的是記數方式，數量本身不變 十進位使用0至9，某一位累積到10，就向左進1；二進位只使用0、1，某一位累積到2，就向左進1。因此，二進位的個位由0變成1之後，再增加1，就必須進位，寫成10。 相同的數字外形，在不同進位制中可能代表不同數值。例如「10」若是十進位，代表十；若是二進位，則代表一個2加上零個1，數值是十進位的2。作答時可用「（10）二進位＝（2）十進位」標明兩邊的進位制，避免混淆。 題目若附上十進位與二進位的對應表，可觀察其規律：每往下一列就是加1，個位由0變1、由1變0並向左進1。表中沒有列到的數，可依此規律繼續往下數，但數到較大的數時容易出錯，改用位值計算較快也較可靠。 十進位二進位十進位二進位 115101 2106110 3117111 410081000 二、二進位的位值：從最右邊開始配對 二進位最右邊是個位，位值為1，也就是2的0次方；往左依序是2的1次方、2的2次方、2的3次方……。最右邊的次方從0開始，不能從1開始。 由右數的位置位值的表示十進位位值 第1位2的0次方1 第2位2的1次方2 第3位2的2次方4 第4位2的3次方8 第5位2的4次方16 第6位2的5次方32 換算時，建議先把位值寫在各位數下方。若由左向右排列六個位置，位值應寫成32、16、8、4、2、1。數字1表示取用該位值，數字0表示不取用；0雖然不增加總和，仍占有位置。 三、十進位轉二進位：位值拆解法 位值拆解法的重點，是把十進位整數拆成互不重複的2的次方之和，再於取用的位值寫1，未取用的位值寫0。 找出不超過原數的最大二進位位值，將該位記為1。 從原數扣掉該位值，再依序檢查下一個較小位值。 剩餘數大於或等於該位值，就寫1並扣除；小於該位值，就寫0。 持續寫到位值1的位置，不能因為剩餘數已經是0，就省略後面的必要位置。 例如17＝16＋1，使用位值16、8、4、2、1時，依序標記為1、0、0、0、1，因此可得（17）十進位＝（10001）二進位。中間三個0分別保留8、4、2的位置，不能刪掉。 若原數恰好等於某個2的次方，二進位就會是1後面接若干個0。例如16＝2的4次方，二進位為10000；再增加1，個位便由0變成1，成為10001。 四、十進位轉二進位：除以2取餘數法 另一種通用方法，是把原數連續除以2，每次記錄整數商與餘數，再用商繼續除以2，直到商為0。因為除以2的餘數只可能是0或1，正好能作為二進位的各位數。 除法紀錄商餘數 17÷281 8÷240 4÷220 2÷210 1÷201 餘數必須由下往上讀。第一次除以2取得的是最低位，最後一次取得的才是最高位。上表由下往上讀為10001，與位值拆解法結果相同。又如將十進位的6連除以2，依序得到餘數0、1、1，反向讀取才是110；若直接照產生順序寫成011，數值就會錯誤。 五、二進位轉十進位：各位數乘位值後相加 換算原則為：十進位數值＝各位數與其位值乘積的總和。二進位每一位只可能是0或1，所以實際計算時，只需加總數字為1的位置。 例如六位二進位數100001，由左至右對應位值32、16、8、4、2、1，可展開為： 1×32＋0×16＋0×8＋0×4＋0×2＋1×1＝32＋1＝33。 因此，（100001）二進位＝（33）十進位。這裡雖然只有兩個1，但它們分別代表32與1，不能直接算成1＋1＝2。 六、申論作答與快速驗算 申論題宜保留「位值拆解」或「位值加總」的關鍵算式，再標明答案的進位制。十進位轉二進位時，可先寫原數由哪些位值組成；二進位轉十進位時，可列出所有數字為1的位值相加，不必只寫一串缺乏說明的數字。 驗算時，把所得二進位換回十進位，確認與原數一致。也可檢查數值範圍：最高位為1的五位二進位整數，介於16至31；六位則介於32至63。此外，二進位個位為1表示奇數，個位為0表示偶數，可用來快速排除部分錯誤。 常考陷阱 把二進位當成十進位讀：看到10001便按十進位理解成一萬零一。判斷關鍵是題目指定的進位制，二進位必須依1、2、4、8、16等位值解讀。 位值從2開始：誤把最右邊配成2，使所有位值加倍。最右邊一定是1，因為2的0次方＝1。 用位數直接當作次方：六位二進位的最高位是2的5次方，也就是32；不能寫成2的6次方。最高位的指數比總位數少1。 只數有幾個1：兩個1不一定代表2，必須看各自所在位置，再加總對應位值。 漏掉中間或末尾的0：0是占位符號。刪去10001中間的0會改變位值；100與10也分別代表4與2，不能任意省略末尾的0。 餘數照順序抄：連除法的餘數先得到低位、後得到高位，所以應反向讀取。某些數的餘數順讀、倒讀恰好相同，不能因此誤認方向不重要。 商為1就漏記最後一步：若採連除法，應繼續算到商為0，並保留最後的餘數1，否則會漏掉最高位。 二進位中出現2：二進位只能使用0與1；某位累積到2就必須進位，不能把2留在該位。 記憶口訣 「右起一、二、四、八，向左位值乘以二。」 「十轉二，除二記餘，讀取由下往上；二轉十，對準位值，有一才加。」 「零要占位不能漏，換回原數再驗收。」