整數加減與退位計算

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建立於 2026年11月10日

學習重點 掌握整數加減的位值意義。直式計算時相同位值必須對齊，進位與退位都要同步調整相關數位。 先觀察算式中的數量關係，再利用加法交換律、結合律及湊整技巧，減少多位數計算。 辨識學童「每一位都拿大數減小數」的錯誤策略，並選出真正能暴露退位迷思的診斷算式。 區分不退位、一般退位（含從百位退給十位）及跨零連續退位，依學習階段判斷低年級評量是否適切。 核心觀念 一、整數加減：先看關係，再決定算法 多位數加減不一定要先列直式。若算式同時出現大小接近的加數與減數，先求兩者的差，常能大幅簡化計算。例如（47238＋69514）－69513，可整理成47238＋（69514－69513），所以結果是47238＋1＝47239，比47238多1。 一般而言，（a＋b）－c＝a＋（b－c）。b比c大1時，原式等於a＋1；b比c小1時，原式等於a－1；b與c相等時，結果才會等於a。作答時要比較完整數值，不能因為兩個數很接近就直接抵消。 加法可以利用交換律改變加數的順序，也可以利用結合律改變分組方式。例如237＋68＋32，可以先算68＋32＝100，再加上237。減法不能任意交換被減數與減數，也不能任意改變括號。例如a－（b－c）＝a－b＋c，不能寫成a－b－c。 湊整時必須維持原來的差。例如604－298，可以把被減數與減數同時加2，改算606－300＝306；也可以先算604－300，再把多減的2加回來。簡算的關鍵是等值轉換，不是只把其中一個數改得好算。 二、直式減法：退位是位值間的等值交換 直式計算要個位對個位、十位對十位、百位對百位。加法某一位滿十，就向左邊進一；減法某一位不夠減，就從左邊較高的一位取出1個單位，換成這一位的10個單位。 以62－27為例，個位的2不夠減7，就把6個十中的1個十換成10個一。此時62看成5個十與12個一：個位算12－7＝5，十位算5－2＝3，結果是35。退位前後總量不變，改變的只是表示方式。 退位包含兩個必須連動的動作：借出的那一位減1，借入的那一位加10。如果個位加了10，十位卻仍用原來的數字相減，數量就不再相等。教學時可以用十進位積木或成束的小棒，連結「拆開一個十」和直式記號的意義。 三、退位迷思診斷：選擇能讓錯誤策略失效的算式 常見的迷思是學童逐位比較上下兩個數字，每一位一律拿大數減小數，忽略被減數與減數的固定順序。例如51－14，個位錯算成4－1＝3，十位算5－1＝4，得到43；正確答案是37。這種做法把各位數字分開處理，失去了位值與退位的關係。 診斷算式必須讓正確算法與錯誤策略得到不同的答案，也就是該算式必須「某一位不夠減、需要退位」。如果各位都夠減，學童即使用錯誤策略也會碰巧答對，就無法辨識迷思。另一種常見錯誤是「個位加了10，十位卻忘記減1」，這類錯誤同樣只有在需要退位的算式中才會出現。 算式特徵例子診斷效果判斷理由 各位都夠減52－31、76－32不適合正確算法與逐位大減小的結果相同（21、44）。 個位都是050－20、52－20不適合不需要退位，兩種策略的結果相同（30、32）。 個位不夠減51－43、53－28適合51－43正確答案是8，大減小會得12；53－28正確答案是25，大減小會得35。 被減數個位是0，減數個位大於050－24、60－24適合0不夠減，必須退位。50－24正確答案是26，大減小會得34。 因此，判斷重點不是算式「有沒有0」，而是個位（或某一位）是否不夠減：0減0不需要退位，0減正數才需要從較高位退位。診斷時也宜請學童說明自己的算法，避免只憑一次答錯就斷定迷思的原因。 四、低年級評量：位數相同，計算負荷仍可能不同 判斷二年級加減法評量是否適切，不能只用「出現三位數」或「有進退位」作為排除理由，而要檢查實際的運算結構。三位數的不進位加法、進位加法、一般退位減法，都可以出現在二年級評量中。本單元的判斷關鍵，是辨識十位為0所造成的跨零連續退位，這類題目不適合出現在二年級評量。 計算類型例子主要處理二年級評量 不進位加法／不退位減法213＋425、224－211同位相加或相減，不需要調整其他位。適合 進位加法124＋316、124＋89同位相加滿十，向左進一（可以連續進位）。適合 一般退位（十位退給個位）124－16、146－28十位不是0，可以直接退1個十給個位。適合 一般退位（百位退給十位）128－36十位2不夠減3，由百位直接退1個百，得到92。適合 跨零連續退位102－16、103－17個位不夠減，十位又是0，必須先從百位退位，再退給個位。不適合 以102－16為例：個位2不夠減6，但十位是0，沒有十可以借出。這時必須先把1個百換成10個十，再把其中1個十換成10個一，102就看成0個百、9個十、12個一。個位算12－6＝6，十位算9－1＝8，結果是86。這比從非零的相鄰高位退位多了一層交換與記錄，負荷明顯較高。 要分清一般退位與跨零連續退位：前者可以直接向相鄰的高位取出單位，即使是從百位退給十位也一樣；後者必須越過原本為0的數位。 常考陷阱 把接近的加數與減數直接抵消：只有完全相等才能抵消。相差1時要保留這個差，再判斷結果是多1還是少1。 把減法當成具有交換律：被減數與減數的位置不能調換，個位不夠減時，也不能改成下面的數字減上面的數字。 用不退位的算式診斷退位迷思：各位都夠減的算式（如52－31）或個位都是0的算式（如50－20、52－20），錯誤策略也能答對，所以沒有診斷力。 以為個位有0就一定有診斷力：要比較上下兩個個位數字。50－20不需要退位；50－24是0減4，需要退位，才有診斷力。 退位後忘記高位已經減1：借出與借入要同步更新，不能一邊加10，另一邊仍用原來的數字。 跨零退位時把中間位寫成10：中間位得到10個單位後，又借出1個給右邊，所以只剩9個單位。 只憑位數或「有退位」判斷評量難度：124＋316、124＋89、128－36都是三位數，也都有進位或退位，仍然適合二年級；不適合的是像102－16這種十位為0、需要跨零連續退位的題目。 把百位退給十位誤認為連續退位：128－36只有十位一次退位，屬於一般退位；被減數中間是0、又要退給個位，才是跨零連續退位。 記憶口訣 簡算：先看加減差多少，保留差額再合算。 退位：高位減一、低位加十，總量不變。 診斷：不夠減才看得出，夠減錯法也答對。 跨零：中間是零先找百，中間留九再往右；二年級評量先避開。