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學習重點 掌握計算的「單位觀點」：直式分別處理個、十、百等位值單位，屬於多單位計算；橫式以整個數為運算對象，屬於一單位計算。 理解直式的位值對齊、進位與退位，都是在處理不同位值單位。直式不只是把橫式換行書寫，兩者的差異也不只是記錄格式。 位值概念是直式計算方法的特徵。橫式以整個數運算，因此「直式與橫式都具有位值概念」的說法不成立。 兩步驟加減問題可依事件順序逐步計算，也可先合併同類數量再求結果。兩種策略都可能出現在低年級學童的解法中。 區分理解解題策略與掌握形式符號：學童會先合併數量，不代表已能自行寫出含括號的併式。 核心觀念 一、直式與橫式的差異，在於如何處理計算單位 本單元的「單位」是指計算時如何看待數量，不是題目中的公斤、公尺或元。直式與橫式即使在計算同一筆重量，兩者處理數的觀點仍不相同。 比較項目直式計算橫式計算 單位觀點多單位計算一單位計算 運算對象分別處理各位值上的數量以整個數為運算對象 典型思考幾個一、幾個十、幾個百分別運算思考兩個整體數量之間的加減關係 位值概念計算方法建立在位值單位上計算方法不以位值單位分開運作 教學重點位值對齊、單位換算、進位與退位數量關係、運算意義與整體算式的表達 以 46＋27 為例，直式會分別處理「6 個一加 7 個一」與「4 個十加 2 個十」。個位合得 13 個一，其中 10 個一換成 1 個十，再與十位的數量合併，得到 73。整個過程用到「一」與「十」兩種位值單位，所以稱為多單位計算。 橫式 46＋27＝73 則以 46 與 27 這兩個完整的數為運算對象，在本單元的分類中稱為一單位計算。「一單位」不是只算個位，也不是指數字只有一位。即使運算對象是三位數，橫式仍是把整個數當成一個單位來運算。 二、位值概念是直式計算方法的核心 直式必須把相同位值對齊，相同單位的數量才能相加減，例如十位要與十位對齊，不能把幾個十當成幾個一來算。進位與退位也不是單純搬動數字，而是依十進位關係換算單位，例如1 個十等於 10 個一。所以位值概念是直式這種計算方法的必要基礎。 橫式把整個數當作運算對象，計算方法本身並不拆成各位值單位分別處理。所以談到「計算方法」時，位值概念是直式的特徵，不是兩者共有的特徵。題目若寫「直式與橫式都具有位值概念」，應判為錯誤。 另外兩種常見說法也不成立： 只差在記錄格式：兩者的單位觀點不同，差異不只在格式。 直式比橫式快：計算速度取決於數字特性、策略與熟練度，不由書寫形式決定。 三、兩步驟加減問題的兩種基本策略 面對「原有一批物品，先減少一些，再減少一些」的情境，學童可以採用兩種策略。以原有 84 個物品、先後取走 26 個與 14 個為例： 策略思考方式分步列式 依事件順序逐次減去先求第一次取走後剩多少，再扣除第二次取走的數量84－26＝5858－14＝44 先合併減少量先求一共取走多少，再從原有量中扣除26＋14＝4084－40＝44 逐次減去貼近事件發生的順序；先合併減少量則是把兩次取走的數量視為同一類數量。兩種策略都合理，不能因為故事有先後順序，就認定學童只會連續做兩次減法。 判斷能否合併，要看兩個數量在情境中的作用是否相同。兩次都是減少，就可以先求總減少量。若一次增加、一次減少，就不能把兩數相加後一起當成減少量扣除。 四、分步列式、直式與含括號併式的表徵發展 分步列式把每一步要解決的問題分開寫，學童能清楚說明中間結果的意義。例如 58 是第一次取走後的剩餘量，40 是兩次合計取走的數量。低年級學童即使還不熟悉複合算式，也能用這種方式表達兩步驟策略。 直式是低年級學習加減計算時常用的工具。學童可以先想清楚要算哪些數，再用直式逐步求出結果，例如先用直式算 95 減 38，再用直式把結果減 22。所以解題雖然需要兩步驟，並不表示一定要用一個橫式寫完全部過程。 含括號併式如 84－（26＋14）＝44，除了要理解「先求總減少量」，還要會用括號標示先算的部分，並把兩步驟整合成單一算式。這比分開記錄兩個算式多了一層符號表徵的要求。括號與併式的記法要到較高年級才正式學習。 因此，判斷二年級學童「最不可能」使用哪種解法時，關鍵在於符號表徵是否符合其學習階段。含括號併式的答案並沒有算錯，學童也可能理解先合併的策略；它之所以最不可能出現，是因為二年級學童尚未學過括號與併式的寫法。 常考陷阱 「直式與橫式只有記錄格式不同」：忽略了計算單位的觀點。判斷關鍵是直式分別處理各位值單位，屬多單位；橫式以整個數為運算對象，屬一單位。 「直式與橫式都具有位值概念」：錯誤。位值對齊、進位與退位是直式多單位計算的特徵；橫式以整個數運算，不以位值單位分開計算。 「直式計算速度比橫式快」：速度取決於數字特性、計算策略與熟練程度，不能由書寫形式一概決定。 「一單位就是只算個位」：錯誤。一單位是指把整個數當作一個運算對象，與數字有幾位無關。 「先合併兩次減少量，不是低年級可能的想法」：這是把策略理解與符號能力混為一談。學童可能先求總減少量，再用兩個算式分步記錄。 「算式正確，就一定是學童可能使用的解法」：數學正確性與學習階段的適切性是不同判準。遇到「最不可能」的問法，要比較各解法需要哪些符號經驗。含括號併式最不符合二年級的學習階段。 把連續等號當成「接著算」：等號兩邊必須相等。像 84－26＝58－14＝44 這樣串在一起，58 並不等於 44，等號就用錯了。分步計算應分開列式。 記憶口訣 直式分位，多單位；橫式整數，一單位。 位值靠直式，橫式看整體。 兩次減少可先合，分步會算未必會括。