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學習重點 熟練四則運算順序：有括號先算括號；乘除優先於加減；同一層級的運算由左至右進行。 區分「答案正確」與「遵循正確算則」：診斷學童觀念時要檢查計算過程，不能只看最後答案。 辨別「先乘除後加減」、「由左到右」、結合律與分配律；提出共同因數的簡便算法是分配律，不是結合律。 選填運算符號時，逐一代入並依運算順序求值，留意減去負數、乘除負數及乘除小於1的數對大小的影響。 評估診斷試題時，同時計算「正確順序」與「一律由左至右」的結果；兩者相同的試題無法診斷此迷思。 核心觀念 一、四則運算的順序與層級 四則運算的順序是共同約定的規則。沒有括號時，乘法與除法屬於同一優先層級，加法與減法屬於另一層級；先處理乘除，再處理加減。同一層級由左至右，不是加法一定先於減法，也不是乘法一定先於除法。 算式類型計算規則判斷重點 只有加減由左至右先完成左邊的加法或減法，再往右算。 只有乘除由左至右乘除同級，不能任意先算右邊的乘法。 加減與乘除混合先乘除，後加減先找出各個乘除部分，再合併加減。 含有括號先算括號內括號內仍須遵守運算層級；多層括號從內往外。 例如，90－30＋8應先算90－30，再加8，得到68。若先把30與8相加，再用90減去總和，就把原式改成90－（30＋8），結果變成52。任意把後面的加法先算，等於擅自改變括號與數量關係，屬於未遵循「只有加減時由左到右」的算則，而且答案通常會錯。 若要改寫減法，可以把它視為加上相反數：90－30＋8＝90＋（－30）＋8。此時才能運用加法性質調整順序，而且－30的負號必須保留。減法本身不具有結合律。 二、答案相同，不代表計算策略正確 判斷學童是否理解運算規則，應觀察第一步選擇哪一個運算，以及每一步是否維持等值。例如，12＋6×1應先算6×1，再加12；若學童寫成12＋6×1＝18×1＝18，雖然答案正確，仍是先算加法，未遵循先乘除後加減。 原因是1為乘法單位元素，任何數乘以1都不變，可能掩蓋錯誤順序。這類計算呈現「結果碰巧相同」，不能據此認定學童已掌握算則。結果判斷關心算對與否，策略判斷關心實際如何計算。 學童寫法答案是否遵循算則 a－b＋c＝a－（b＋c）的算法通常錯誤未遵循「只有加減，由左到右」 a＋b×1＝（a＋b）×1的算法碰巧正確未遵循「先乘除後加減」 題目若同時呈現兩位學童的過程，要分別依各自的步驟判斷，兩人可能都未遵循算則，不要因其中一人答案正確就認定他有遵循。 三、運算順序、結合律與分配律的區別 運算順序決定原算式哪些部分先算；運算律則用來把算式改寫成等值且較方便的形式。兩者必須分清楚。 概念或策略形式或例子辨識關鍵 先乘除後加減37×98＋37×2，先求3626與74，再相加得3700。依原算式的層級，先各自求乘積再加總。 由左到右計算37×98＝3626，3626＋37＝3663，再×2……每一步都處理當下最左邊的運算，不管層級（屬錯誤策略）。 加法結合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）只有加法，改變分組而不改變數的先後。 乘法結合律（a×b）×c＝a×（b×c）只有乘法，改變分組而不改變數的先後。 分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c）兩個乘積的和，改寫成共同因數乘以另一組數的和。 例如，37×98＋37×2可改寫為37×（98＋2）＝37×100＝3700。這是逆用分配律提出共同因數，不能稱為結合律。結合律只在同一種運算（全是加法或全是乘法）中改變分組；式子同時有乘與加、且把共同的因數提出來，就是分配律。判斷時要看整個式子的結構如何改變，不是看到括號就選結合律。 判斷「策略」只看學童實際怎麼算，不看答案對錯：用由左到右算出錯誤答案的學童，策略仍判定為「從左到右計算」。 四、選填運算符號與最大、最小值 選填＋、－、×、÷時，最可靠的方法是逐一代入，依各自形成的運算層級求值，再比較大小。若□前後還有其他運算，填入乘除符號會改變優先計算的範圍，不能把四個選項都當成最後一步運算。 比較前先檢查括號、負號及除數是否為0。比較同一組數a、b的四種運算時，可利用以下性質協助判斷： b為正數時，a－b小於a＋b；b為負數時，a－b＝a＋（－b的相反數），反而大於a＋b。 乘除的正負由符號決定：同號為正，異號為負。正數大於0，0大於負數；兩個負數比較時，絕對值較小者較大。 不能認為乘法一定使數變大。以正數為例，乘以大於1的數會變大，乘以介於0與1之間的數會變小；除以介於0與1之間的數反而變大。 除法須確認除數不為0；負數參與乘除時，必須先判斷結果正負，再比較數值。 例：2□（－3）。填＋得－1；填－得2＋3＝5；填×得－6；填÷得－2/3。最大的是減號，因為減去負數等於加上正數，而乘除遇到異號都變成負數。由此可見，求最大值時不能直覺選乘號，也不能直覺排除減號。 五、如何判斷試題能否診斷運算順序迷思 要診斷「所有運算都由左至右」的迷思，關鍵是讓正確算法與錯誤算法產生不同的結果。可依下列程序檢查： 依先乘除後加減求得正確值。 模擬學童忽略運算層級，從最左邊一路計算。 比較兩個結果；若相同，單靠答案無法辨識此迷思，不適合作為診斷題；若不同，才具有診斷效果。 快速判斷：若所有乘除都位在任何加減之前（例如乘法在最左邊，後面只剩加減），兩種算法結果必定相同，不適合診斷。只要有乘除出現在加減的後面，錯誤策略就會先做加減，通常可產生不同答案。 算式正確值一律由左至右能否診斷 4×3＋8－51515不能（乘法在最前，結果相同） 10×2＋6×550130能 10＋2×6－51767能 18－8＋3×31939能 24＋5×6－450170能 注意10×2＋6×5：雖然第一個運算是乘法，但後方的6×5會被加法搶先處理，所以仍可診斷。即使第一個運算是乘法，只要後方還有乘除，就可能具有診斷效果。 常考陷阱 把「先乘除後加減」理解成乘、除、加、減固定依序：乘除同級，加減同級，各自都由左至右。 只有加減卻先合併後兩個數：如100－20＋10寫成100－30，是擅自改成減去一個總和，未遵循由左到右。 答案正確就判定有遵循算則：如16＋4×1寫成20×1，答案碰巧正確，但先算了加法，仍是未遵循；乘以1會掩蓋錯誤。 提出共同因數誤判為結合律：乘積相加改成共同因數乘以和，使用的是分配律。 答案錯就說不出策略：策略依步驟判斷，算錯的學童仍可判定為使用「由左到右」。 看到乘法就認為可以診斷迷思：乘法若在最前面、後面只有加減，兩種算法結果相同，不適合診斷。 看到最左邊是乘法就排除診斷效果：還要檢查後續是否有應優先處理的乘除。 求最大值直接選乘號或排除減號：遇到負數時，減去負數常是最大；乘除異號為負、乘以小於1的數會變小，應完整代入比較。 記憶口訣 括號先、乘除前；同級運算左到右。 判策略看步驟，判診斷比兩值；乘除全在前，診斷就失靈。 共同因數提出來，分配律要認出來。 減去負數變加正，求最大別只想乘。