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學習重點 乘法對加法具有分配律：一個數乘以兩數的和，可以分別相乘後再相加。和放在乘號左邊或右邊都成立。 和除以同一個非零數，可以分開計算：拆開的是被除數，各項的除數必須維持相同。 一個數除以兩數的和，不可直接分配：不能把除數拆成兩項，再把兩個商相加。 判斷算式先看結構：先辨認括號內的和是乘數、被除數還是除數，再決定能否展開。不要只憑算式外觀判斷。 核心觀念 一、乘法對加法的分配律：兩項都要乘到 對一般實數而言，乘法對加法的分配律可寫成： a × (b＋c)＝a × b＋a × c(a＋b) × c＝a × c＋b × c 第一種形式是「一個數乘以和」，第二種形式是「和乘以一個數」。兩種形式都可以把括號內的每一項分別與括號外的數相乘，再把乘積相加。判斷關鍵是：括號內每一項都必須乘到同一個數，不能漏乘。 例如，7 × (20＋3)＝7 × 20＋7 × 3＝161。(20＋3) × 7＝20 × 7＋3 × 7，結果也是161。和放在乘號的哪一側，都不影響分配律成立。乘法有交換律，所以這兩種形式其實是一致的。 分配律也可以反向使用。兩個乘積有共同因數時，可以把共同因數提出來，例如 8 × 12＋8 × 5＝8 × (12＋5)。所以分配律既能展開括號，也能合併算式、簡化計算。 二、和除以同一非零數：可以拆分被除數 括號內的和位於被除數的位置，並且整個和除以同一個非零數時，可以寫成： (a＋b) ÷ c＝a ÷ c＋b ÷ c，其中 c ≠ 0。 這個等式有兩個重點：一是拆開的是被除數，二是拆開後每一項仍除以原來同一個數。例如，(18＋12) ÷ 6＝18 ÷ 6＋12 ÷ 6＝3＋2＝5。 可以這樣拆的原因是：除以非零數 c，等於乘以 c 的倒數。所以 (a＋b) ÷ c 可以改寫成 (a＋b) × (1 ÷ c)，再用乘法對加法的分配律展開，就得到 a ÷ c＋b ÷ c。 各項不必都能整除，等式仍然成立。例如，(5＋7) ÷ 4＝3。拆開後 5 ÷ 4＝1.25，7 ÷ 4＝1.75，相加仍是3。拆開後出現分數或小數，不代表分配錯誤。這裡的商要保留精確值，不能只取整數部分。 除數不為零是必要條件。c＝0 時除法沒有定義，即使式子外形符合，也不能套用。 三、數除以和：不能直接拆分除數 括號內的和位於除數的位置時，不能用前面的拆分方式。一般而言： a ÷ (b＋c) 不等於 a ÷ b＋a ÷ c。 左邊是先算出 b＋c，再用 a 除以這個總和。右邊是分別求出 a ÷ b 與 a ÷ c，再把兩個商相加。兩邊是不同的運算，沒有可以直接互換的分配律。 例如，12 ÷ (2＋4)＝12 ÷ 6＝2，但 12 ÷ 2＋12 ÷ 4＝6＋3＝9。兩邊結果不同，就足以說明「數除以和，可以分別除再相加」不是普遍成立的規則。 從倒數也能看出差異：a ÷ (b＋c)＝a × [1 ÷ (b＋c)]。和的倒數不等於各項倒數的和，所以不能再改寫成 a × (1 ÷ b)＋a × (1 ÷ c)。 估算判斷法：當 a、b、c 都是正數時，除數變大，商就變小。所以 a ÷ (b＋c) 比 a ÷ b 小，也比 a ÷ c 小。右邊 a ÷ b＋a ÷ c 是兩個正數相加，又比 a ÷ b 大。可見左邊一定小於右邊，不必精算就能看出兩邊不相等。 比較兩邊之前，也要確認除法有定義：左邊要求 b＋c ≠ 0，右邊要求 b ≠ 0 且 c ≠ 0。即使這些條件都符合，也不代表兩邊相等。 四、用位置辨認能否分配 算式結構能否如此展開判斷關鍵 a × (b＋c)可以：a × b＋a × c括號內兩項都乘以 a。 (a＋b) × c可以：a × c＋b × c和的每一項都乘以 c。 (a＋b) ÷ c可以：a ÷ c＋b ÷ c拆的是被除數，且 c ≠ 0。 a ÷ (b＋c)不可直接寫成 a ÷ b＋a ÷ c括號內是除數，不能直接分配。 常考陷阱 看到括號與加號，就認為都能分配：分配律只適用於特定的運算結構。先看括號外是乘法還是除法；如果是除法，再看和位於被除數還是除數的位置。 四個選項外形相近，混入「除以和」：常見出法是用同一組數字，分別寫出乘以和、和乘以數、和除以數、數除以和四種形式。錯誤的通常是「數 ÷ (和)」被拆成兩個商相加的那一項。 把「除以和」誤當成「和除以一數」：a ÷ (b＋c) 與 (a＋b) ÷ c 結構不同。前者的和是除數，不能直接分配；後者的和是被除數，在除數非零時可以分配。 把除法當成可以交換位置：乘法有交換律，除法一般沒有。乘法中和放左右兩側都能展開，不代表除法也一樣。 展開乘法時漏乘其中一項：例如把 a × (b＋c) 誤寫成 a × b＋c。正確展開時，b 與 c 都要乘以 a。 認為拆開後不是整數，就不能拆：能否分配取決於算式結構與除數是否非零，與各項能否整除無關。分數、小數也可以是正確的商。 認為不成立的規則每次都不相等：錯誤的通則仍可能在特殊數值下碰巧相等。例如被除數為0，且 b、c、b＋c 都不為0 時，兩邊都等於0。所以一個相等的例子不能證明通則；只要找到一個兩邊都有定義且結果不同的反例，就能推翻通則。 急著計算所有乘積與商：這類題目先辨認結構通常比較快。需要驗證時，可以用簡單數字建立反例，或用「除數變大、商變小」來估算。計算時依照先括號、再乘除、後加減的順序。 記憶口訣 「乘法兩邊都能分；和除以數可拆開，除數非零要記清；數除以和不能拆，拆了反而變更大。」 作答時依序確認：看運算、找位置、查非零。看到「數 ÷ (和)」被拆成兩個商相加，就可以判定它是錯誤的算式。