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學習重點 看懂連除各步的分組層次：原物件先裝成袋，再把袋裝成盒。每一步的被除數、商與餘數都有自己的單位。 理解「連除兩數相當於除以兩數之積」：每袋有幾顆，乘以每盒有幾袋，就是每盒有幾顆。 比較餘數前先統一單位。能把剩下的袋數換算成顆數，說明兩個數字不同的餘數其實代表相同的剩餘量。 掌握一般情形：若第一次除法也有餘數，換算總餘數時必須把這部分一起加回。 申論作答要完整交代「餘數的單位、代表的意義、換算關係」，並依題目要求回答剩下幾袋或幾顆。 核心觀念 一、連除是在不同層次上分組 以「每2顆裝成1袋，每3袋裝成1盒」為例： 第一次除以2，是把顆數轉成袋數。 第二次除以3，是把袋數轉成盒數。 1盒有3袋，每袋有2顆，所以1盒共有2×3＝6顆。直接除以6，就是從顆數直接求盒數。 每個除數背後都有分組意義，餘數則與當次被除數使用相同的計量單位。因此，看到兩個算式的餘數數字不同，不能就判斷它們互相矛盾。 運算步驟被除數的單位商的單位餘數的單位 顆數÷每袋2顆顆袋顆 袋數÷每盒3袋袋盒袋 顆數÷每盒6顆顆盒顆 二、餘數不同，是因為單位不同 以214顆哈密瓜為例，連除的過程如下： 先按每袋2顆分裝：214÷2＝107，可裝成107袋，沒有散落的哈密瓜。 再按每盒3袋分裝：107÷3＝35餘2。35表示裝滿35盒，餘2表示剩下2袋，不足再裝滿1盒。 若直接以每盒6顆計算，214÷6＝35餘4。35同樣表示裝滿35盒，餘4表示剩下4顆哈密瓜。 兩種算法的換算關係是：剩下2袋×每袋2顆＝剩下4顆。反過來看，剩下的4顆也可以再裝成2袋，只是不足一盒。所以兩種算法都表示裝滿35盒，剩餘量完全相同。餘數數字不同，是因為一個以「袋」計量，另一個以「顆」計量。 若題目問「剩下幾顆」，最後必須回答4顆。不能只寫餘2，也不能把餘2解釋成2顆。 三、不同數量下，判斷方法相同 若同樣是每2顆裝一袋、每3袋裝一盒，判斷步驟相同。 共有104顆時： 連除：104÷2＝52（52袋），52÷3＝17餘1，即17盒、剩1袋。 直接除以6：104÷6＝17餘2，即17盒、剩2顆。 因為1袋就是2顆，「餘1袋」與「餘2顆」描述的是同一份剩餘量。 共有220顆時： 連除：220÷2＝110（110袋），110÷3＝36餘2，即36盒、剩2袋。 直接除以6：220÷6＝36餘4，即36盒、剩4顆。 此時可用兩種方式檢查： 以袋數檢查：110袋＝36盒×每盒3袋＋2袋。 以顆數檢查：220顆＝36盒×每盒6顆＋4顆。 把前一式的2袋換成2×2＝4顆，就能看出兩種方法得到相同的完整盒數（36盒）與相同的剩餘量（4顆）。這就說明了「220÷2÷3＝220÷（2×3）」成立。說明等價關係時，必須同時處理商與餘數，不能只說「商一樣」。 四、第一次也有餘數時，要合併兩部分 前面的例子第一次除以2都恰好整除，所以只要把第二次的餘數乘以2。但一般的連除問題，第一次也可能留下不足一袋的散裝物件，這部分不能遺漏。 設原有N個物件，每a個裝成一袋，每b袋裝成一盒，其中a、b都是正整數。第一次分裝得到q袋、剩r個；第二次把q袋分裝，得到Q盒、剩s袋，則： N＝a×q＋r，其中0≤r＜a。q＝b×Q＋s，其中0≤s＜b。 把第二式代入第一式，可得：N＝a×b×Q＋a×s＋r。 所以直接除以a×b時，商是Q，餘數是a×s＋r。這個餘數由兩部分組成： 剩下的完整袋數換成原物件數，即a×s。 第一次剩下的散裝物件數，即r。 而且a×s＋r小於a×b，符合餘數必須小於除數的規則。 例如23個物件，每2個裝成一袋，再每3袋裝成一盒： 先得到11袋、剩1個。 再把11袋分裝，得到3盒、剩2袋。 總共剩2×2＋1＝5個，與23÷6＝3餘5一致。 五、等式成立與帶餘數記錄要分清楚 在一般數的除法中，（N÷a）÷b＝N÷（a×b）恆成立。但情境題若只記錄完整袋數、完整盒數，就必須另外保留餘數，並註明單位。 例如： 220÷2÷3記錄為「36餘2」，餘2的單位是袋。 220÷6記錄為「36餘4」，餘4的單位是顆。 這兩者是情境中的帶餘數記錄，不能把「餘2」與「餘4」當成同單位的數字直接比較。嚴謹說明時，應寫出「36盒、剩2袋＝36盒、剩4顆」，或利用「原數＝每盒顆數×盒數＋剩餘顆數」來驗證。 常考陷阱 「餘2就是剩2顆」：先看餘數出現在哪一步。若是袋數除以每盒袋數，剩下的是袋，不是顆。 「餘數不同，所以連除不等於除以積」：數字不同不代表剩餘量不同。必須先換成同一單位，再判斷是否一致。 「第二次除以3，餘數就乘以3」：剩下的袋要換成顆，應乘每袋顆數2。3是每盒袋數，不能用來把袋換成顆。 「最後餘數只要乘第一個除數」：只有第一次整除時才能直接這樣處理。第一次若有餘數，還要把散裝部分加回。 「商相同就已證明兩種算法完全相同」：題目若要求利用餘數說明，還須交代兩個餘數各代表什麼，以及如何換算。 「餘數可以等於除數」：第二次剩下的袋數必須少於每盒袋數；直接除以每盒顆數時，剩餘顆數也必須少於每盒顆數，否則還能再裝滿一盒。 只寫「單位不同」而沒有解釋：申論應具體寫出「剩2袋，每袋2顆，所以共剩4顆」，才能清楚呈現餘數的意義與轉換關係。 記憶口訣 先看單位再看餘，剩袋乘顆要換齊；前次若還有零散，換回原量再加起。 作答順序記成：標單位 → 說意義 → 做換算 → 核對商與剩餘量。