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學習重點 看見「同時是兩數的倍數」，先求最小公倍數，再把符合條件的數寫成它的倍數。 計算從 1 到某個正整數之間的公倍數個數，用「上限÷最小公倍數」，取商的整數部分。 相同長方體依長、寬、高同向整齊排列，拼成正方體時，正方體邊長必須同時是三種邊長的整數倍。 求最少盒數分兩步：先求最小正方體邊長，再把各方向的盒數相乘，或用體積相除。 核心觀念 一、公倍數與最小公倍數：把多個條件合成一個條件 一個整數若能被某個正整數整除，就是該數的倍數；若能同時被兩個或多個正整數整除，就是這些數的公倍數。公倍數中最小的正整數，稱為最小公倍數。 設兩數的最小公倍數為 L，它們的正公倍數依序為 L、2L、3L、……。因此「找出同時符合兩個倍數條件的數」，可以改成「找出 L 的倍數」，不必逐一檢查每個號碼。 求最小公倍數可用質因數分解：先把各數分解，再將所有出現過的質因數，各取最高次方相乘。例如 12＝2²×3、30＝2×3×5，最小公倍數為 2²×3×5＝60。凡是 60 的倍數，必定同時是 12 與 30 的倍數；反過來，同時是 12 與 30 的倍數，也必定是 60 的倍數。 概念判斷方式常見用途 最大公因數共同的質因數，各取最低次方等分、分組、切成最大的相同單位 最小公倍數所有出現的質因數，各取最高次方同時符合倍數條件、尋找共同長度 兩數的乘積一定是公倍數，但不一定是最小公倍數。兩數互質時，最小公倍數才等於兩數乘積；兩數有共同因數時，直接相乘會把共同因數重複計入。也可以用關係式驗算：兩數乘積＝最大公因數×最小公倍數，例如 12×30＝360＝6×60。 二、範圍內的倍數計數：除以共同單位，取完整組數 從 1 到 N，要計算 L 的倍數共有幾個，就是找出有多少個正整數 k，使 kL 不超過 N。因此： 倍數個數＝N÷L 所得商的整數部分。 例如從 1 到 2024，計算 12 與 30 的公倍數個數：先求最小公倍數 60，再算 2024÷60＝33 餘 44，所以共有 33 個。可以這樣檢查：第 33 個倍數為 60×33＝1980，仍在範圍內；第 34 個倍數為 2040，已超出上限。 取整數部分是因為只能計入完整的一個倍數，不能四捨五入，也不能因為有餘數就多算一個。若上限恰好是 L 的倍數，且題意包含上限，該數就必須計入。 編號從 1 開始時，不列入 0。雖然 0 也是各正整數的倍數，但它不在指定的編號範圍內，不能因此額外加一。 若計數範圍改為從 A 到 B，且兩端都包含，可先算「1 到 B 的倍數個數」，再扣除「1 到 A－1 的倍數個數」。扣到 A－1，才能保留可能符合條件的下限 A。 三、長方體拼最小正方體：先統一三個方向的尺度 在長、寬、高分別同向、沿三個方向整齊排列的拼法中，設盒子的長、寬、高分別為 a、b、c，拼成的正方體邊長為 S。沿三個方向所排的盒數分別是 S÷a、S÷b、S÷c，三者都必須是正整數。 所以 S 必須同時是 a、b、c 的倍數。要使正方體最小，就取S＝a、b、c 的最小公倍數。最小公倍數在這裡代表能讓三個方向都排得完整、又長度相同的共同尺度。 以長、寬、高分別為 18、15、10 公分的盒子為例：18＝2×3²、15＝3×5、10＝2×5，最小公倍數為 2×3²×5＝90，所以最小正方體的邊長為 90 公分。 得到邊長後，還要計算盒數。沿三個方向分別可排 90÷18＝5、90÷15＝6、90÷10＝9 個，因此所需總數為5×6×9＝270 個。 也可以用體積驗算：一個盒子的體積為 18×15×10＝2700 立方公分，正方體體積為 90×90×90＝729000 立方公分，兩者相除同樣得到 270 個。 先確認可以完整排列，再用體積求數量。只看體積相等，不足以證明盒子能拼成指定的正方體；各方向的長度是否相容，仍須檢查。 常考陷阱 把「和」誤讀成「或」：「為兩數的公倍數」表示兩個整除條件必須同時成立。只符合其中一個條件的號碼不能算入，也不能把兩種倍數的個數直接相加。 只除以其中一個數：只以其中一數為除數（例如 2024÷30 得 67），算到的是該數的倍數個數，會比同時符合兩個條件者多。應先把兩個條件合成最小公倍數。 把兩數直接相乘當成共同單位：乘積雖然是公倍數，但若不是最小公倍數，就會漏掉其他符合條件的號碼，使計數偏少。 除法結果四捨五入或無條件進位：倍數計數要看範圍內有幾個完整倍數；有餘數代表還沒到下一個倍數，不代表可以多算一個。 把總件數與符合條件的件數混淆：連續編號的上限只是計數範圍，不是符合條件的數量。題目中「商品價值大於售價」之類的敘述，只是用來界定哪些號碼被計入，不影響計算方法。 把正方體邊長當成盒數：最小公倍數算出的是長度（90 公分）；題目問盒子數時，還須計算三個方向的盒數並相乘。 只算一排或一層：S÷a 只代表一個方向的盒數；兩個方向相乘只得到一層（如 5×6＝30）。正方體是立體，三個方向都要乘入。 用表面積比代替體積比：拼合後有些盒面位於內部，不會成為大正方體的外表面；求盒數應用體積比，不能用表面積比。 記憶口訣 同時整除求公倍，質因數取最高次；範圍計數除上限，只取整數不進位。 盒拼方體先求邊，三向整除才排全；每向盒數相乘算，體積相除再驗算。