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學習重點 帶分數做乘除前，一律先化成假分數，不可整數部分、分數部分各自相乘。 判定乘積的整數部分 a 時，要確認小數部分 b 滿足 0＜b＜1。值恰好略小於某整數 N 時，整數部分是 N−1，不能四捨五入。 遇到形如 (n−k)(n＋k) 的乘法，可用平方差公式 n²−k² 快速求值與判斷大小。 利用乘除互逆求未知數，要分清楚未知數在被除數還是除數的位置。 求出未知數後做分數加法要先通分，最後化成最簡分數或帶分數，再與選項比對。 核心觀念 一、帶分數與假分數互換 帶分數 p又q/r 化成假分數為 (p×r＋q)/r。例如 3又3/4＝(3×4＋3)/4＝15/4，49又49/50＝(49×50＋49)/50＝2499/50。 假分數化回帶分數時，用分子除以分母：商是整數部分，餘數是新分子。例如 23/6：23÷6＝3 餘 5，所以 23/6＝3又5/6。 帶分數本身就是「整數＋真分數」，例如 3又5/6＝3＋5/6。這正是「a＋b，a 為正整數且 0＜b＜1」的意義：a 是帶分數的整數部分，b 是真分數部分。 二、帶分數乘法：為什麼不能分開乘 帶分數相乘時，要用分配律展開成四項，不是兩項： (A＋x)(B＋y)＝A×B＋A×y＋x×B＋x×y 只算 A×B 與 x×y，會漏掉中間兩項「交叉乘積」，這是最常見的錯誤。例如 2又1/2×3又1/3： 正確：5/2×10/3＝50/6＝25/3＝8又1/3。 錯誤：2×3＋1/2×1/3＝6又1/6，少了 2×1/3 和 1/2×3。 三、判定乘積的整數部分 題目寫成「某算式＝a＋b，a 為正整數，0＜b＜1」，就是求該數的整數部分（取不超過它的最大整數）。步驟如下： 帶分數化成假分數。 觀察數字結構。若兩數能寫成「某整數加減同一個小量」，就用乘法公式。 把結果寫成「整數＋真分數」或「整數－真分數」。 若結果是 N－ε（0＜ε＜1），則整數部分為 N－1，b＝1－ε。 示範：49又49/50×50又1/50 49又49/50＝50－1/50，50又1/50＝50＋1/50。 由平方差公式，乘積＝50²－(1/50)²＝2500－1/2500。 2500－1/2500＝2499＋2499/2500，所以 a＝2499，b＝2499/2500，符合 0＜b＜1。 改用分配律驗算：整數部分相乘 49×50＝2450；交叉項 49×1/50＋49/50×50＝0.98＋49；分數部分相乘 49/50×1/50＝0.0196。合計 2450＋49.9996＝2499.9996，整數部分仍是 2499。 四、常用乘法公式 公式適用情形例子 (n－k)(n＋k)＝n²－k²兩數對稱分布在某整數兩側(50－1/50)(50＋1/50)＝2500－1/2500 (n＋k)²＝n²＋2nk＋k²帶分數的平方(3＋1/2)²＝9＋3＋1/4＝12又1/4 (n－k)²＝n²－2nk＋k²接近整數但略小的數的平方(5－1/5)²＝25－2＋1/25＝23又1/25 看到 49又49/50、99又99/100 這類數，先想成「下一個整數減一點點」，通常能大幅簡化計算。 五、乘除互逆求未知數 乘法和除法互為逆運算。求未知數時，依「□」所在的位置選擇運算： 算式型態求 □ 的方法說明 □×a＝b 或 a×□＝b□＝b÷a未知數是因數，用積除以另一因數 □÷a＝b□＝b×a未知數是被除數，用商乘除數 a÷□＝b□＝a÷b未知數是除數，用被除數除以商（不是乘） 分數除法要乘以除數的倒數：a/b÷c/d＝a/b×d/c。除數是帶分數時，要先化成假分數再取倒數。2又1/3 的倒數是 3/7，不是 2又3/1，也不是 1/2又1/3。 示範一：□×1又1/2＝3又3/4 → □＝15/4÷3/2＝15/4×2/3＝5/2＝2又1/2。 示範二：□÷2又1/3＝1又1/2 → □＝3/2×7/3＝7/2＝3又1/2。 示範三：4又1/2÷□＝1又1/2 → □＝9/2÷3/2＝9/2×2/3＝3。 解完要把 □ 代回原式驗算。例如示範一：5/2×3/2＝15/4＝3又3/4，正確。 六、求出未知數後的分數加法 求出未知數後若要再相加，步驟如下： 帶分數可化成假分數，也可以整數部分與分數部分分開加。加法可以分開，乘法不行。 通分：取分母的最小公倍數。 分子相加，分母不變。 約分，並視需要化成帶分數。 接續示範一：□＋1又1/3＝5/2＋4/3＝15/6＋8/6＝23/6＝3又5/6。 七、不必算出精確值的大小判斷 選項若是比較大小，可以用以下性質快速判斷（皆指正數）： 情形結果 乘以大於 1 的數變大 乘以小於 1 的數變小 除以大於 1 的數變小 除以小於 1 的數變大 例如 □×1又1/2＝3又3/4，因為乘數 1又1/2 大於 1，所以 □ 一定小於 3又3/4。可以用這點先刪去不合理的選項，再精算確認。 常考陷阱 只算整數部分相乘：例如 49×50＝2450，漏掉交叉項，選了偏小很多的答案。帶分數乘法的交叉項常常接近一個整數，影響很大。 四捨五入誤判整數部分：2499.9996 很接近 2500，但題目要求 0＜b＜1，整數部分必須是 2499。若選 2500，等於 b 是負數。 整數部分少減或多減 1：寫成 N－ε 後，要確認 ε 確實介於 0 與 1 之間，再取 N－1，不要減成 N－2。 帶分數分開乘：(A＋x)(B＋y) 誤算成 AB＋xy。 互逆方向弄反：a÷□＝b 時，□＝a÷b，誤寫成 a×b 是典型錯誤選項。 帶分數取倒數錯誤：沒有先化成假分數就直接把分子分母對調。 分數加法分子加分子、分母加分母：例如 1/2＋1/3 誤算成 2/5。必須先通分。 沒約分或沒化成帶分數：算出 50/6 而選項是 8又1/3 或 25/3，形式不同就誤以為沒有答案。最後一定要化成最簡形式再比對。 大小比較直覺錯誤：以為「乘法一定變大、除法一定變小」，忽略乘數或除數小於 1 的情形。 記憶口訣 「帶分先化假，乘除才不怕」：帶分數乘除一律先化成假分數。 「差一點點，退一整數」：結果是 N 減去一個小於 1 的正數時，整數部分是 N－1。 「對稱兩側用平方差」：(n－k)(n＋k)＝n²－k²。 「求因數用除，求被除數用乘，求除數用除」：分清楚未知數的位置。 「加減先通分，乘除先化假」。