阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 正數乘或除以一個數時，結果會變大還是變小，要看這個數與 1 的大小關係。 比較字母大小時，先判斷每一步是放大或縮小，再把各量改寫成同一個基準，比較還不能確定的兩個量。 比較分數四則運算的結果時，要分清楚兩件事：結果相對於原數變大或變小，以及不同運算結果彼此的大小。 學童常有「乘法一定使數變大」的迷思。要引發認知衝突，應選用乘數介於 0 與 1 之間的算例，讓乘積小於被乘數。 核心觀念 一、乘除的大小效應：先確認原數是正數 本單元的基本前提是原數大於 0。設原數為 x，乘數或除數為 k，結果大小取決於 k 與 1 的關係。 k 的範圍乘法結果除法結果 0＜k＜1x × k＜x，結果縮小x ÷ k＞x，結果放大 k＝1x × k＝xx ÷ k＝x k＞1x × k＞x，結果放大x ÷ k＜x，結果縮小 原因是除以一個非零數，等於乘以它的倒數。當 0＜k＜1 時，倒數大於 1，所以除以 k 會使正數放大。因此不能只看運算符號，就認定乘法變大、除法變小。 「分數」或「小數」只是數的表示方式，本身不決定大小效應。例如 3/2 與 1.5 都大於 1，正數乘上它們會變大；1/2 與 0.5 都介於 0 與 1 之間，正數乘上它們才會變小。 二、正整數乘除以正真分數：兩項敘述都恆真 設 a 是正整數，b 是大於 0 的真分數，也就是 0＜b＜1，則必有： a × b＜a：乘法表示取原數的一部分，所得小於原數。 a ÷ b＞a：除以小於 1 的正數，等於乘以大於 1 的倒數，所得大於原數。 這兩項性質對所有符合條件的 a、b 都成立，所以兩者都是恆真。例如 8 × 3/4＝6＜8，8 ÷ 3/4＝32/3＞8。商是不是整數，不影響「商大於原數」的判斷。 其實 a 不必限定為正整數，只要是正數就成立。但若原數為 0，乘除後仍為 0，就不能用嚴格的大於或小於；若涉及負數，也不能直接套用上表的大小關係。 三、字母連鎖比較：用共同基準補足關係 若一個正數乘以真分數得到另一個量，可以立即判定後者較小；若再除以真分數，可以判定結果比除法前的量大。不過，先縮小再放大，最後是否超過起點，必須看合併後的倍率。 例如 b＝a × 5/7，所以 a＞b；又 c＝b ÷ 5/8，所以 c＞b。這兩步只能確定 a、c 都大於 b，還無法比較 a 與 c。 把 b 代入後，c＝a × 5/7 × 8/5＝a × 8/7。因為 a＞0 且 8/7＞1，所以 c＞a，完整關係為c＞a＞b。因此不能選「無法確定 a 和 c 的大小」。 一般而言，若 b＝a × p、c＝b ÷ q，且 a、p、q 都大於 0，則 c＝a × p/q，可依下列規則判斷： p＞q，則 c＞a。 p＝q，則 c＝a。 p＜q，則 c＜a。 四、四則運算排序：先分組，再比較同組 比較含整數與分數的加、減、乘、除結果時，先以原數為基準分組。設 n 是正整數，f 是正真分數：n＋f 與 n ÷ f 都大於 n，n－f 與 n × f 都小於 n。所以大於原數的結果，一定排在小於原數的結果之前。 運算相對於原數 n判斷依據 n＋f大於 n加上正數 n－f小於 n減去正數 n × f小於 n乘以介於 0 與 1 的數 n ÷ f大於 n除以介於 0 與 1 的數 同一組內的順序不能直接推定。例如 n＝3、f＝1/2 時，3 ÷ 1/2＝6，大於 3＋1/2＝3.5；但 f＝9/10 時，3＋9/10＝3.9，反而大於 3 ÷ 9/10＝10/3。減法與乘法也沒有固定順序，應實際計算、通分，或相減判斷。 若用差值法比較，n－f－n × f＝n(1－f)－f。差為正，減法結果較大；差為負，乘法結果較大。 若各算式的數字不同，就沒有共同的原數可以分組，應逐一算出結果再排序。大小效應能幫助快速分組或估算，但不能取代精確比較。 五、認知衝突：乘數介於 0 與 1，乘積小於被乘數 學童可能把整數乘法的經驗過度類推成「越乘越大」。教學時可先請學生預測，再實際計算比較，讓他們看見被乘數乘以介於 0 與 1 的乘數，乘積會小於被乘數，與原本的想法產生衝突。 算式 A × B 中，A 是被乘數（原來的量），B 是乘數（倍率）。判斷算例是否適合，關鍵在乘數是否介於 0 與 1 之間： 算式乘數範圍乘積與被乘數比較能否引發認知衝突 12 × 1/2＝60＜1/2＜16＜12適合 2.3 × 0.5＝1.150＜0.5＜11.15＜2.3適合 18 × 0.3＝5.40＜0.3＜15.4＜18適合 整數 × 真分數介於 0 與 1乘積小於該整數最直接，因為被乘數就是學童熟悉的整數 0.5 × 3＝1.53＞11.5＞0.5不適合，仍是變大 真分數 × 22＞1乘積大於被乘數不適合，仍是變大 0.6 × 2.5＝1.52.5＞11.5＞0.6不適合，乘積大於被乘數 1又1/7 × 3/2＝12/73/2＞112/7＞8/7不適合，雖然有分數，結果仍變大 教學時可用「取一半」「取三成」等語意說明，讓學生理解乘法也能表示取原量的一部分，不一定是累加變多。 常考陷阱 「乘法一定變大，除法一定變小」：忽略了乘數或除數與 1 的關係。應先確認數值範圍，再判斷大小效應。 「有分數或小數，就能引發認知衝突」：關鍵是乘數是否介於 0 與 1。1又1/7 × 3/2、0.5 × 3、0.6 × 2.5 的乘數都大於 1，乘積大於被乘數，都不適合。 「乘數和被乘數對調，效果一樣」：乘積相同，但比較的原量不同。0.5 × 3 是 0.5 變成三倍，屬於變大；3 × 0.5 是 3 取一半，屬於變小。 「先乘真分數、再除真分數，無法比較起點與終點」：應先合併倍率；倍率已知時，就能確定大小。 「兩個量都大於同一個量，就能互相比大小」：同時大於某量，不足以決定兩者的順序，必須代入或改寫成共同基準。 「a 是正整數、b 是真分數時，a ÷ b 不一定大於 a」：只要 0＜b＜1，a ÷ b＞a 恆成立，與商是否為整數無關；a × b＜a 也恆成立。 「四則運算有固定的大小順序」：應先依原數分組，再比較同組，或逐一計算；不可把某一組數字的排序當成普遍規則。 記憶口訣 正數乘除先看一：乘小縮、除小放；乘大放、除大縮；遇到一，原值留。 連鎖比較合倍率，四則排序先分組；認知衝突看乘數，零到一間才變小。