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學習重點 從「誰是誰的幾倍」判斷基準量與比較量，建立「比較量＝基準量×倍數」的關係。 以線段圖表示兩量的倍數關係，清楚標出基準量、比較量、已知量與未知量。 區分「全部的幾分之幾」與「幾分之幾張」：前者是相對於全體的比例，後者是帶有單位的數量。 依單位量是否需要轉換、部分與全體的關係，以及解題步驟，分析分數應用題的難度與教學順序。 核心觀念 一、基準量與比較量：先找「以誰為準」 基準量是被拿來作為比較標準的量，視為1 倍。比較量是和基準量比較後得到的量。判斷時，先把句子整理成「某量是另一量的幾倍」，再找出倍數是依據哪一個量。 比較量＝基準量×倍數基準量＝比較量÷倍數倍數＝比較量÷基準量 例如，「今年體重是去年體重的 a/b 倍」表示以去年體重為準，所以去年體重是基準量，今年體重是比較量。題目即使已知今年體重、要求去年體重，兩者的角色也不會改變。若今年體重是 80 公斤，就有「80＝去年體重×a/b」，所以去年體重是 80÷a/b 公斤。 作答申論題時，要把兩者寫完整，例如「基準量：叔叔去年的體重；比較量：叔叔今年的體重（80 公斤）」。只寫「去年」「今年」不夠明確，要寫出是什麼量。 判斷項目基準量比較量 意義作為比較標準的量和標準比較後的結果 倍數角色視為 1 倍是基準量的 a/b 倍 句型位置「是……的幾倍」中「的」前面的量句子的主詞 是否一定已知不一定不一定 是否一定較大不一定不一定，要看倍數是否大於 1 二、線段圖：以基準量決定等分方式 線段圖的重點是讓線段長度和倍數關係一致。若比較量是基準量的 a/b 倍，就把基準量畫成 b 個等長小段，比較量畫成 a 個同樣長的小段。每一小段代表基準量的 1/b，兩條線段必須用相同的尺度，而且左端要對齊。 示範一（倍數小於 1）：假設今年體重是去年體重的 3/4 倍。 去年體重（基準量，1 倍）：｜──｜──｜──｜──｜ ？公斤今年體重（比較量，3/4 倍）：｜──｜──｜──｜ 80 公斤 去年的線段有 4 小段，今年的線段有 3 小段，所以 80 公斤對應 3 小段。先算 80÷3，得到一小段的公斤數，再乘以 4，就是基準量。這和 80÷3/4 的意義相同。 示範二（倍數大於 1）：假設今年體重是去年體重的 5/4 倍。 去年體重（基準量，1 倍）：｜──｜──｜──｜──｜ ？公斤今年體重（比較量，5/4 倍）：｜──｜──｜──｜──｜──｜ 80 公斤 這時 80 公斤對應 5 小段，一小段是 80÷5＝16 公斤，去年體重就是 16×4＝64 公斤。作答時要依照題目給的分數決定段數。 倍數大於 1 時，比較量的線段比基準量長；倍數在 0 和 1 之間時，比較量的線段比較短。畫完後要檢查四件事：名稱（基準量、比較量）、倍數（1 倍、a/b 倍）、已知數值、問號是否都標在正確的整條線段上。 三、分數所指的單位量：一張與全部不同 做分數應用題時，第一步先問：「把什麼當作一個全體？」同一個分數，依附的全體不同，代表的實際數量也會不同。 假設共有 2 張餅，用 f 表示題目給的分數。「吃了全部的 f」是把 2 張餅合起來當作全體，再取其中的 f，所以吃掉 2×f 張。「吃了 f 張」是以 1 張餅為單位，直接說出吃掉的數量。 語句形式分數的意義單位量計算關係 吃了全部的 f，求吃掉量f 是相對於全部的比例2 張（全部）吃掉量＝全部量×f 吃了全部的 f，求剩下量剩下部分占全部的 1－f2 張（全部）剩下量＝全部量×（1－f），或全部量－全部量×f 吃了 f 張，求剩下量f 張是已經給定的數量1 張剩下量＝全部量－f 張 例如，全部有 2 張時，「全部的 1/2」是 1 張，「1/2 張」只是半張。前者的 1/2 是比例，後者的「1/2 張」是數量。兩者分數相同，但吃掉的量不一樣多。 四、應用難度與教學順序：先直接數量，再處理比例 在分數形式和其他條件相近、學生已具備相關運算能力的前提下，這三類情境由易到難通常這樣安排： 已知吃掉幾分之幾張，求剩下量（最容易）：吃掉的量已經用「張」表示，單位量就是 1 張，直接用「全體－部分＝剩下」計算即可，不必把比例換成張數。 已知吃掉全部的幾分之幾，求吃掉量（次之）：要先看出全體是 2 張，單位量從 1 張變成 2 張，再由比例求出實際張數，也就是建立「全體×部分比例＝部分量」的意義。 已知吃掉全部的幾分之幾，求剩下量（最難）：除了要轉換單位量，還要處理部分和全體的互補關係，屬於兩步驟問題。可以先求吃掉量再相減，也可以先求剩下比例再乘以全部量。 以上述題型代號作答時，順序可寫成「丙 → 甲 → 乙」：丙是吃了幾分之幾張後求剩下，甲是吃了全部的幾分之幾求吃掉量，乙是吃了全部的幾分之幾後求剩下。申論作答要說明單位量和認知步驟：直接給出部分量，比先由比例求部分量容易；求剩下量還要多處理一層互補關係。只寫「減法比乘法簡單」並不足以說明差異。 常考陷阱 「已知的量就是基準量」：錯。基準量由語意決定，和已知或未知無關。求基準量時，通常用比較量除以倍數。 「比較量一定比較大」：錯。「比較量」說的是角色，不是大小。倍數小於 1 時，比較量反而比較小。 「今年是去年的幾倍，就用今年乘以這個倍數求去年」：方向顛倒了。應該先寫出「今年＝去年×倍數」，再求未知量，所以要用除法。 線段圖中兩條線段各自任意等分：兩條線段的小段如果不等長，就無法在同一尺度下呈現倍數關係。分母決定基準量要分成幾段，分子決定比較量占幾小段。 線段圖只畫不標：沒有標出「基準量／比較量」「1 倍／幾倍」、80 公斤和問號，就不算完整表徵題意。 把「全部的分數」直接當成張數：這樣忽略了全體有幾張。比例要乘以全部量，才會得到以「張」為單位的實際數量。 求剩下量直接算「2－f」：只有 f 代表吃掉的張數時才可以這樣算。若 f 是吃掉全部的比例，應該算 2－2×f，或 2×（1－f）。 「列成一個算式，就只有一個理解步驟」：錯。即使寫成「全部量×剩下比例」，學生仍要先理解吃掉比例和剩下比例互補，不能只看算式長短判斷難度。 記憶口訣 誰的幾倍，誰作基準；基準乘倍，得到比較。 見到「全部的」，先找全體；見到「幾分之幾張」，直接是量。 分母分基準，分子取幾段；先量後比例，求剩最後算。