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學習重點 判斷商的大小，先看除數與 1 的關係。被除數為正數時，除以大於 0、小於 1 的數，商會大於被除數。 分清「乘以小數」與「除以小數」。乘以 0.5 是取一半；除以 0.5 是求其中有多少個 0.5，結果為原數的 2 倍。 倍數關係統一寫成「比較量＝基準量×倍數」。已知基準量求比較量用乘法；已知比較量反求基準量用除法。 連續的倍數敘述，先找共同的量。同一人的金額可以連接兩組關係，先求共同量，再反求另一個基準量。 用估算與代回檢查答案。不必每次都完成直式計算，也能排除大小方向、倍數與數量級錯誤的選項。 核心觀念 一、小數除法：商是否變小，要看除數 「除法會使數變小」只符合部分情況，不能當成通則。設被除數 a＞0，除數 b＞0，商 a÷b 與 a 的大小關係如下： 除數的範圍商與被除數的關係例子 b＞1a÷b＜a12÷3＝4，商變小 b＝1a÷b＝a12÷1＝12，大小不變 0＜b＜1a÷b＞a12÷0.5＝24，商變大 關鍵在於除以 b，等於乘以 b 的倒數。當 0＜b＜1 時，1÷b＞1，因此 a÷b＝a×（1÷b）會大於 a。作答時應完整保留「被除數為正數」與「除數大於 0、小於 1」這兩項條件，不能只說「除以小數，商一定變大」，因為 1.5 也是小數，卻大於 1，除以 1.5 商反而變小。 也可以用「包含除」理解：12÷0.5 是問「12 裡面有多少個 0.5」。每 1 裡有 2 個 0.5，12 裡就有 24 個。每份的量小於 1，數出的份數就會大於原來表示總量的數值。教學時用這個意義，可以修正學童從整數除法形成的「愈除愈小」過度概括。 二、接近 0.5 的除數：商約為原數的 2 倍 遇到 427.5÷0.469 或 427.8÷0.461 這類布題，若只問結果比被除數大或小，確認除數介於 0 與 1 之間即可，不必算出精確商，正確理由就是「除數比 1 小」。若還要估計倍數，可將除數看成接近 0.5： a÷0.5＝2a；a×0.5＝0.5a。兩者運算不同，結果方向也相反。除以接近 0.5 的數，商約為原數的 2 倍，不能說成約為原數的一半。 進一步看，0.461 與 0.469 都略小於 0.5。固定正的被除數，正的除數越小，商越大。因此，上述兩個商都會比各自被除數的 2 倍稍大。以 427.5 為例，427.5÷0.5＝855，所以 427.5÷0.469＞855（實際約 911.5）；427.8÷0.461 則約為 928。這比只判斷「大於被除數」更精確。 估算也要檢查數量級。427 多除以約 0.46，結果約為九百多，也就是約為被除數的 2 倍多，而不是 10 倍；427 與 0.46 相比也差了近千倍，並非 10 倍。若要使商恰為被除數的 10 倍，除數應為 0.1。 若需實際計算，可用被除數與除數同乘相同的非零數，商不變的性質，例如 427.5÷0.469＝427500÷469。不可只移動除數的小數點，卻讓被除數保持不變。 三、倍數關係：先辨認誰是基準量 看到「甲是乙的 k 倍」，應先寫成甲＝乙×k。甲是比較量，乙是基準量，k 是倍數。「誰的幾倍」中的「誰」，就是作為比較基準的量。 已知與所求使用算式判斷方式 已知基準量，求比較量比較量＝基準量×倍數依倍數取出基準量的一部分或若干倍 已知比較量，求基準量基準量＝比較量÷倍數由部分或倍數結果，反求原來的量 已知兩量，求倍數倍數＝比較量÷基準量比較量相當於基準量的多少倍 倍數小於 1 時，比較量小於基準量。例如甲是乙的 0.8 倍，表示甲只有乙的八成，因此乙應比甲大。反求乙時，用甲÷0.8，正好符合「正數除以小於 1 的正數，商變大」的規律。 四、兩組倍數關係：先求共同量，再反求基準量 當妹妹的金額同時是哥哥的 0.2 倍、姐姐的 0.8 倍，可將語句分別寫成： 妹妹＝哥哥×0.2妹妹＝姐姐×0.8 兩式中的共同量是妹妹的金額。已知哥哥有 2000 元，先算妹妹有 2000×0.2＝400 元；再由 400＝姐姐×0.8，反求姐姐有 400÷0.8＝500 元。合併算式為2000×0.2÷0.8＝500。 也可直接看出姐姐的金額是哥哥的 0.2÷0.8＝0.25 倍，2000×0.25＝500。檢查時，500×0.8＝400，且 2000×0.2＝400，兩組關係都成立；金額大小也符合哥哥＞姐姐＞妹妹。 算式結果錯在哪裡 2000×0.2÷0.8500正確：先乘求妹妹，再除反求姐姐 2000÷0.2×0.88000第一步顛倒，妹妹變得比哥哥多 2000×0.2×0.8320第二步顛倒，姐姐變得比妹妹少 2000÷0.2÷0.812500第一步就顛倒，後續再對也錯 常考陷阱 「愈除會愈小」：把整數除法的經驗錯用到所有除法。判斷關鍵是除數與 1 的關係，不是看到除號就判定變小。 「除數約為 0.5，所以商約為一半」：把除法當成乘法。取一半是乘以 0.5；除以 0.5，結果是原數的 2 倍。 「商約為原數的 10 倍」：只有除數接近 0.1 才會如此；除數約 0.46，商約為 2 倍多。先估數量級即可排除。 結論對但理由錯：判斷「商比被除數大」時，正確理由是「除數比 1 小」，選項的理由也要一併檢查。 「看到幾倍，一律用乘法」：只有從基準量求比較量才直接乘。從比較量反求基準量，必須除以倍數。 「2000÷0.2×0.8」：第一步就顛倒關係。妹妹是哥哥的 0.2 倍，應先乘以 0.2；除以 0.2 會得到比哥哥更多的金額，與語意不符。 「2000×0.2×0.8」：求出妹妹後，又取妹妹的八成，結果比妹妹更少；但妹妹只有姐姐的八成，姐姐理應比妹妹多。 「2000÷0.2÷0.8」：第二步用除法反求姐姐的方向雖然正確，第一個倍數關係卻已列錯。多步驟算式必須逐一核對每一步的已知量與所求量。 記憶口訣 正數除法看除數：大於一，商變小；等於一，量不變；零與一間，商變大。 除以一半變兩倍，乘以一半才減半。 誰的幾倍，誰是基準；已知基準乘，反求基準除。 兩段倍數先搭橋，找出共同量，再求目標量。