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學習重點 「乘法一定變大、除法一定變小」是迷思，來源是把正整數運算的經驗過度推廣到小數。 正數乘除後變大或變小，要看乘數或除數與1的關係，不是看算式中有沒有小數點。 診斷題要用介於0與1之間的數當乘數、除數，並把結果與原數比較（積比被乘數、商比被除數）。 好的診斷題還要避開特殊數：原數宜選大於1的一般數，乘數、除數也不要用1。 能從學生對計算結果的困惑，分別說出乘法與除法的迷思，並用運算意義解釋。 核心觀念 一、迷思來源：將整數運算經驗當成普遍規則 學童初學乘法時，多半接觸「幾個一樣多」的連加情境，例如取2倍、3倍，結果都比原數大。初學除法時，多半接觸把物品平均分成幾份的等分除情境，例如分給2人、3人，每份都比原數小。這些經驗容易讓學童形成直覺：「看到乘號，答案就比較大；看到除號，答案就比較小」。 這些整數算例本身沒有算錯，問題在於學童忽略了規則的適用條件，也就是乘數、除數都大於1。進入小數乘除後，乘數或除數可以介於0與1之間，原本的直覺就不成立。教學目標是讓學童不再依運算符號猜大小，改成依乘數、除數與1的關係判斷大小。 二、正數乘法：乘數決定放大或縮小 設原數a＞0，比較a×b與a。乘以b的意思是取原數的b倍，所以先看b大於1、等於1，或介於0與1之間。乘法有交換律，積與其中一個因數比較時，看的就是另一個因數與1的關係。 乘數b的範圍與原數比較意義 b＞1a×b＞a取超過原數1倍的量，結果變大。 b＝1a×b＝a取原數的1倍，大小不變。 0＜b＜1a×b＜a只取原數的一部分，結果變小。 例如8×0.2是取8的0.2倍，也就是取8的五分之一，結果是1.6，當然比8小。這不是計算機故障，也不是小數乘法的例外，而是「取幾倍」這個意義直接推出來的結果。 三、正數除法：除數小於1，商反而變大 設被除數a＞0、除數b＞0，比較a÷b與a。用包含除的角度理解，a÷b是在問「a裡面有幾個b」。每一組的量越小，同樣的總量能分出越多組。 除數b的範圍與被除數比較意義 b＞1a÷b＜a每組超過1個單位，組數比原數少。 b＝1a÷b＝a以1為一組，數值不變。 0＜b＜1a÷b＞a每組不到1個單位，組數比原數多。 例如8÷0.2是在問「8裡面有幾個0.2」。每個1裡面有5個0.2，所以8裡面有40個0.2，商是40，比8大。也可以理解成除以0.2等於乘以5，而不是乘以0.2。 如果學童只把除法理解成「平均分給幾個人」，就很難想像「分給0.2個人」是什麼意思，因此會覺得除完一定變小。補上包含除的意義，是破除除法迷思的關鍵。 以上規則的前提是原數為正數。原數若為0，乘以或除以正數，結果都是0。除數不可以是0。 四、診斷題的設計：讓迷思與正確概念得出不同答案 有效的診斷題，不只是讓學生算小數，而是要讓持有迷思的學生和理解概念的學生做出不同判斷。設計時要同時符合以下條件： 乘數、除數介於0與1之間：這樣正確答案是「乘後變小、除後變大」，剛好和迷思的預測相反。如果用大於1的數，例如1.2、1.7，正確答案和迷思一致，學生靠錯誤直覺也能答對，就看不出有沒有迷思。 比較對象必須是原數：積要和被乘數比，商要和被除數比。如果改成和乘數或除數比，例如2.7×0.6和0.6比、2.7÷0.6和0.6比，結果都是「比較大」，就檢查不到運算前後的大小變化。 乘法與除法兩個算式都要符合條件：要同時診斷兩種迷思，就要逐一檢查每個算式，不能只看其中一個符合就選定整組。 避開特殊數，讓判斷必須依靠概念： 原數用1時（例如1×0.2和1比），結果就是另一個數本身，學生不必理解運算意義也能判斷，題目會失去診斷的一般性。 乘數、除數用1時，結果不變，無法呈現「乘後縮小、除後增大」。 0.5這類「一半」的數，學生容易憑生活經驗直接判斷，鑑別力較低。 原數宜選大於1的一般小數或整數：例如固定用0.2當乘數和除數，分別作用在1.2、1.7這類大於1的數上，再與原數比較。這樣學生不會因為原數本身就小於1，而混淆比較的對象，題目也最能直接對照「乘會變大、除會變小」的迷思。 標準範例：2.7×0.6 □ 2.7，應填「＜」；2.7÷0.6 □ 2.7，應填「＞」。兩題的正確答案都和迷思預測相反，最能揭露學生是否只靠運算符號判斷大小。 五、從學生反應判讀迷思（申論作答要點） 學生看到8÷0.2＝40比8大而感到困惑，最可能的迷思是「除法會變小」，也就是認為商一定比被除數小。學生看到8×0.2＝1.6比8小而感到困惑，最可能的迷思是「乘法會變大」，也就是認為積一定比被乘數大。 作答時，兩個困惑要分別對應到除法與乘法，並寫清楚比較對象。建議依下列順序作答： 分別寫出兩種迷思。 說明迷思的成因：整數經驗過度類化，乘法只理解為連加、除法只理解為等分除。 用運算意義說明正確結果：8×0.2是取8的五分之一；8÷0.2是問8裡面有幾個0.2，共40個。 學生要求換計算機，代表計算結果和既有觀念發生衝突，但不能據此認定學生不會操作計算機或不會小數計算。教學重點應放在重新理解運算意義。例如：繩長8公尺取0.2倍會變短；8公升果汁每0.2公升裝一杯，可以裝40杯。讓學生用這些情境說明結果為何縮小或增大。 常考陷阱 題目有小數，就能診斷迷思：小數也可能大於1，例如1.2、1.7。用這些數當乘數、除數，結果仍是「乘後變大、除後變小」，和迷思一致，無法診斷。 乘數、除數挑大於1的數：判斷關鍵是問自己「學生只靠錯誤口訣，能不能答對？」能答對的題目，就沒有診斷力。 把結果改和乘數或除數比較：例如2.7×0.6和0.6比、2.7÷0.6和0.6比，結果都比較大，偏離了「運算前後的大小變化」。比較對象一定要是原數。 用1當原數或乘數、除數：原數為1時，結果直接等於另一個數；乘數、除數為1時，結果不變。兩者都是特殊情形，不是最適合的診斷設計。 兩個數都小於1、或用0.5這類特殊數，看似也成立：數學上或許成立，但比較對象容易混淆，或學生可以憑「一半」的直覺作答。這類選項不是「最符合」命題需求的選擇。 小數乘法一定變小，小數除法一定變大：這只是把舊迷思換成新口訣。必須判斷乘數、除數與1的關係，不能只看是不是小數。 申論只寫「學生不懂小數」：要明確寫出兩種迷思，也就是「除法的商一定比被除數小」和「乘法的積一定比被乘數大」，並分別對應到題目中的兩個算式。 記憶口訣 乘除變化先看1，比較對象是原數；零一之間乘縮除放，避開1與特殊數。 完整記法：乘數大於1就放大、介於0與1就縮小；除數大於1就縮小、介於0與1就放大；乘除以1都不變。