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學習重點 能將兩組含共同項的比化成統一連比，並分清楚比的是單價、重量、個數或金額。 能把連比各項設為同一個未知數的倍數，利用總量或總金額建立一元一次方程式。 能依購買數量計算總價，理解「單價比」必須乘上數量，才能得到各類商品的花費。 能處理合購後的款項調整，依實際分得重量計算每人的最終負擔。 能利用每日減少量與剩餘量列式，求出經過時間及原有數量。 核心觀念 一、合併比例：先讓共同項代表相同份數 兩組比若含有同一種物品，必須先將共同項的比值化成相同數字，才能接成連比。比的前、後項同乘一個非零數，比值不變。 例如甲：乙＝1：2、乙：丙＝3：4，兩組比中的乙分別是2份、3份。取2與3的最小公倍數6，第一組同乘3，第二組同乘2： 甲：乙＝3：6，乙：丙＝6：8，因此甲：乙：丙＝3：6：8。 連比中的3、6、8只表示相對份數，並非實際價格或數量。若每份為k，三項實際量就分別是3k、6k、8k。 合併後要回頭驗算：3：6可約成1：2，6：8可約成3：4，才表示連比與兩組原比例一致。 二、依總量分配：總量除以總份數 若甲：乙：丙＝a：b：c，且三者總量為T，可設三者分別為ak、bk、ck，得到： （a＋b＋c）k＝T，因此k＝T÷（a＋b＋c）。 指定項的實際量＝總量×該項份數÷總份數。例如乙的量就是T×b÷（a＋b＋c）。這裡的k代表「一份的實際量」，最後仍須乘上所求項的份數。 若已知的是每公斤單價比，且每種都買1公斤，各種水果的花費比才會等於單價比。此時可將總價直接按單價的連比分配；以3：6：8為例，總份數為17份，求出每份後再乘上所求項的份數。若各種重量不同，就必須先將單價乘以重量。 三、數量不同的購物問題：總份數須加權計算 設大、中、小三種商品的單價比為a：b：c，單價可設為ak、bk、ck；若分別買了m、n、p件，總價為T，則： m×ak＋n×bk＋p×ck＝T，也就是（ma＋nb＋pc）k＝T。 例如單價比為6：5：4，購買數量分別為3、2、4時，總價所對應的份數是3×6＋2×5＋4×4＝44份。求得每份價格後，中杯單價應取5份；若問兩杯中杯的合計價格，才取10份。 題意應使用的關係判斷重點 按比例分配一個總量總量＝各項份數和×每份量總量確實是各項實際量相加 各類商品購買數量不同總價＝各類「數量×單價」之和先乘購買數量，再加總 各類商品購買相同數量花費比＝單價比總價＝單價份數和×每份×共同購買數量 四、合購後重新分攤：以最終負擔對應重量 同一批商品的每公斤單價相同，因此最終應付金額比＝分得重量比。原先各出多少錢，不一定等於最後應負擔多少，必須先處理彼此補付的款項。 若三人原先各付800元，甲、乙後來各給丙100元，則甲、乙各自的最終負擔都是800＋100＝900元；丙收到兩筆100元，最終負擔是800－200＝600元。 三人的最終負擔比為900：900：600＝3：3：2，重量比也就是3：3：2。若甲、乙各比丙多拿2公斤，比例中的1份差就對應2公斤，丙占2份，因此重量為4公斤。 也可以直接列一元一次方程式。設丙拿x公斤，甲、乙各拿（x＋2）公斤，由相同單價可得900÷（x＋2）＝600÷x。交叉相乘後，900x＝600（x＋2），即可解出x。 兩種方法的共同基礎是先算清楚最後誰負擔多少，再把金額與重量連結。款項調整只是三人之間的轉付，合購總價仍為2400元。 五、固定速率減少：以共同時間連結原量與剩量 原有數量成比例，並不表示每天售出固定數量後，剩餘數量仍維持相同比例。這類題目要運用： 原有量－每天售出量×天數＝剩餘量。 若原有大、小兩類物品的個數比為a：b，可設原有量為ak、bk；每天分別售出u、v個，經過d天，小類售完、大類剩r個，則： bk＝vd，ak－ud＝r。 由第一式得k＝vd÷b，代入第二式，可得（av÷b－u）d＝r。求出天數後，再用原有大類數量＝ud＋r求原量。 也可只設天數d：小類原有vd個，依原比例，大類原有（a÷b）vd個；再減掉大類在d天內售出的ud個，剩下r個。這樣只用一個未知數即可完成列式。 以原量比7：5、每日售出量30與25、最後大類剩25個的條件而言，可列35d－30d＝25，得d＝5；大類原量則由30×5＋25求得175個。作答時應呈現列式、計算與單位。 常考陷阱 共同項尚未統一就直接拼接：看到1：2與3：4便寫成1：2：4，會使後兩項的比不符合原條件。應先將共同項化成相同份數。 把比的數字當成實際值：比為3：6：8，不代表單價就是3元、6元、8元；三者還有共同倍數k。 總價直接除以單價比的份數和：購買數量不同時，不能只算6＋5＋4，應把各項單價份數乘上購買杯數後再相加。 求出一份就停止：k通常只是每份價格或每份重量，答案須再乘上指定項的份數，並確認問的是單件價格還是多件總價。 收款者只扣掉一筆補款：兩人各給丙100元，丙合計收到200元，最終負擔應扣200元；付款者則各增加100元。 把補款額當成兩人的負擔差：甲多付100元，丙少負擔200元，兩人最後相差300元。重量差應對應這個最終金額差。 售出後仍沿用原比例：固定減少不同數量，通常會改變剩餘量的比。原比例應用來表示原有量，再分別扣除售出量。 把售出量當作原有量：尚有剩餘時，原量必須加回剩餘量。求出天數後，也要確認題目最後要求的是時間還是原有個數。 記憶口訣 連比先同項，分配看總份；購物乘數量，補款算實付；原量減售量，剩量列等號。