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學習重點 掌握「部分量＝總量×百分率」，能依已知條件反求總量、部分量或百分率。 辨認各百分率所對應的總量，利用同一組「部分量與百分率」建立計算關係。 判斷補上哪一格資料後，能確定共同總量並補齊整張表格。 運用各部分合計為總量，以及每一部分都大於零的條件，建立未知百分率的嚴格不等式。 能將含小數的百分率化為分數，並確實約成最簡分數。 核心觀念 一、先找出百分率的基準量 百分率表示部分量相對於基準量的比例。在部分與整體的問題中，基準量就是總量，視為100%。解題前先問：「這個百分率，是誰占誰的百分之幾？」例如某國煤炭進口量占八國進口總量的百分率，分母應是八國進口總量；某分數的人數占全班人數的百分率，分母就是全班人數。 同一張表中的百分率若都以相同總量為基準，才可以直接相加、相減。表格只列出部分國家時，已列國家的百分率合計通常小於100%，不能把這些國家的進口量加總當成全部進口量。 要求的量基本關係判斷方式 部分量總量×百分率知道全部，求其中一部分 總量部分量÷百分率知道一部分及其占比，反推全部 百分率部分量÷總量×100%比較一部分與全部的大小 計算時須把百分率轉成可運算的數值。例如25%＝0.25＝1/4，因此「某部分占總量25%」也就是「總量是該部分的4倍」。 二、由部分量與百分率反求總量 設某部分的數量為A，占總量的p%，則A＝總量×p/100，所以總量＝100A÷p。這裡的p是百分號前面的數字；若直接使用p%，公式則寫成「總量＝A÷p%」，兩種寫法不可混用。 在成績人數表中，若60分的人數為n，且這些人占全班25%，則全班人數＝n÷25%＝4n。判讀表格時，60分是成績，n才是部分人數，不可拿分數除以百分率求班級人數。人數計算結果應為正整數，可藉此檢查是否讀錯欄位。 總量求出後，其餘資料可逐一回推：已知占比，便以總量乘上占比求部分量；已知部分量，便除以總量求占比。若要求尚未列出的部分，則以總量減去已知部分量的合計，或以100%減去已知百分率的合計。 申論題作答時，應寫出「所依據的部分量與百分率」、「列式」與「結果及單位」，例如「全班人數＝60分人數÷25%＝…人」，以免只寫答案而失分。 三、補哪一格才能算出整張表？ 這類題目考的是新增資料能否確定共同總量，以及總量確定後能否補齊其餘空格。先查看每一列的「數量」與「百分率」已知哪一項，再判斷補入某格後，能否形成同一國家的一組完整對應資料。 例如某列已有進口量、只缺占比，補上該占比就能用「進口量÷占比」求總量；反過來，某列已有占比、只缺進口量，補上進口量也能確定總量。關鍵是兩項資料屬於同一部分，不能將不同國家的進口量與占比直接配成一組。 判斷時還要做第二步檢查：總量確定後，其餘各列是否都至少有一項已知（數量或占比），才能用乘法或除法補齊。若某一列的數量與占比都未知，又沒有其他限制，仍無法唯一確定該列資料。因此，「可以求總量」不一定等於「可以填完所有空格」。作答時應說明理由：補上哪一格、與哪個已知值配成一組、如何求出總量，以及其餘各格如何依序算出。 四、利用正值條件求未知百分率的範圍 設八國進口總量為T，每一國進口量都不為0。由於進口量不可能為負，因此八國的進口量都大於0，對應的百分率也都大於0，且八國百分率合計為100%。 先用已知的一組進口量與百分率算出T，再將其餘已知進口量換成百分率。設已知各國占比合計為S%，目標國占比為x%，其他尚未確定國家的占比合計為R%，則有： x＋R＝100－S。 目標國確實有進口，故x＞0；表中未列出的國家也都有正進口量，故R＞0，因而得到： 0＜x＜100－S。 也可先用數量建立不等式。若已知部分進口量合計為K，目標國進口量為C，且另有其他國家的正進口量尚未計入，則0＜C＜T－K；兩邊除以T再乘以100%，即換成百分率範圍。題目若同時問進口量與百分率的範圍，兩者都要寫出。 題目若還提供大小關係、整數限制或其他數據，必須一併納入，取各條件的共同範圍。不能只憑「八個國家」就認定每國各占12.5%；國家數量不代表進口量平均分配。 五、百分率化為最簡分數 百分率的「百分」表示除以100，因此轉換順序為：先除以100，再去除小數，最後約分。以4.16%為例： 4.16%＝4.16/100＝416/10000＝26/625。 416與10000的最大公因數為16（416＝16×26，10000＝16×625），分子、分母同除以16，得到26/625。26＝2×13，625＝5×5×5×5，兩者沒有大於1的公因數，因此已是最簡分數，即a＝26、b＝625。 可用反向換算驗算：26÷625＝0.0416，再乘上100%得到4.16%。注意4.16%＝0.0416，與4.16的數值相差100倍。 常考陷阱 反求總量卻使用乘法：已知部分量及占比，應以部分量除以占比。占比小於100%時，總量應大於部分量，可用來快速檢查答案。 把百分號前的數字直接代入：25%應以0.25或1/4計算；若直接除以25，結果會比正確值小100倍。 看錯表格欄位：成績、人數、進口量與百分率代表不同意義。先確認單位，再決定哪個數字可代入部分量。 跨列配對資料：同一國家的進口量必須搭配同一國家的占比，才能反求總量；不可拿甲國的量配乙國的占比。 把部分表格當成全部：八國資料只列四國時，不能令四國占比合計為100%。其餘四國都有正進口量，必須保留其占比。 把嚴格不等式寫成含等號：「每國進口量不為0」使占比不能等於0；其餘國家也須分得正的比例，目標國不能占盡剩餘比例，故上下限都取不到。 只算出總量就認定資料足夠：還須確認每個待填欄位都能唯一求出，避免忽略同列兩項皆未知的情況。 分數只約一半或只改一邊：分子、分母必須同除以相同的數，並約到互質。52/1250雖與26/625等值，卻不是最簡分數；52/625是26/625的2倍，26/1250則是其一半，皆不相等。 記憶口訣 部分除占比，總量就到齊；總量乘占比，部分算得出。 同列成一對，全體百分百；各國皆有量，端點要排開。 百分先除百，小數化整數；上下同約分，互質才結束。