含水率、濃度與稀釋

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建立於 2026年11月10日

學習重點 先找百分率的分母：含水率以總重量為基準，濃度以溶液總量為基準。分母改變時，百分率不能直接相加減。 乾燥問題以乾物重量不變列式，再求目標含水率下的總重量。 加水稀釋以溶質量不變列式，並看清楚混合比例中「原溶液」與「純水」各占幾份。 目標濃度是一個範圍時，寫成連續不等式，求出加水量的上下限，再做單位換算與四捨五入。 比較每單位降價與折扣券時，先算出相同基準的實付金額；若當次金額相同，再考慮優惠期限與折扣券能否保留。 核心觀念 一、先找百分率的基準量與不變量 百分率表示「部分占全體的比例」。本單元的含水率、濃度與折扣都用百分數表示，但基準各不相同。先寫出定義，再找出過程中不變的量，就能列出正確的式子。 情境比例定義不變量／解題關鍵 含水率水重 ÷ 總重量只移除水分時，乾物重量不變 溶液濃度溶質量 ÷ 溶液總量只加入純水時，溶質量不變 價格折扣實付價格 ÷ 原價折數表示實付比例，95 折即付 95% 本單元的稀釋題依題目模型計算，混合後的總體積等於原溶液體積加上加水體積，並忽略浸泡物釋出成分的影響。計算前要先統一溶質量與溶液量的單位。 二、含水率改變：固定的是乾物重量 總重量＝水重＋乾物重量。若含水率為 r，乾物所占比例就是 1－r，所以： 乾物重量＝總重量 ×（1－含水率）只除去水分時：原總重量 ×（1－原含水率）＝新總重量 ×（1－新含水率）。 例如，一批鮮葉重 100 公斤，含水率 80%，乾物重量為 100 × 20%＝20 公斤。乾燥到含水率 50% 時，乾物占新總重量的 50%，因此新總重量＝20 ÷ 50%＝40 公斤。 驗算：原有水分 80 公斤，乾燥後水分為 40－20＝20 公斤，共移除 60 公斤水。總重量減少的 60 公斤，正好等於移除的水重。 通式為新總重量＝原總重量 ×（1－原含水率）÷（1－目標含水率）。含水率下降時，乾物比例上升；乾物重量固定，所以總重量減少。 題目若先提供一般範圍，例如「75%～80% 降到 40%～50%」，那只是背景資料。計算時要使用題目指定的那一批數據，例如 80% 與 50%。 三、加水稀釋：固定的是溶質量 濃度＝溶質量 ÷ 溶液總量，所以溶質量＝濃度 × 溶液量。加入純水不會增加溶質，只會讓分母變大，因此濃度下降。 設原濃度為 c、原溶液量為 V、加水量為 x，則： 稀釋後濃度＝cV ÷（V＋x）若已知目標濃度 d，則加水量 x＝cV ÷ d－V。 若「原溶液：純水＝a：b」，可設原溶液為 a 份、純水為 b 份，混合後共 a＋b 份，因此： 稀釋後濃度＝原濃度 × a ÷（a＋b） 例如，將 95% 酒精與純水按 4：1 混合。溶質量相當於 0.95 × 4＝3.8 份，總量為 5 份，所以新濃度＝3.8 ÷ 5＝76%。這裡比例中的「酒精」指原本 95% 的酒精溶液，不是純酒精。 也可以這樣理解：原溶液占混合液的 4/5，所以濃度變成原來的 4/5，即 95% × 4/5＝76%。 四、目標濃度是區間：用不等式求加水量 原有 0.6 公升、濃度 95% 的酒精，要稀釋成 70%～75%。 先把 0.6 公升換成 600 毫公升（1 公升＝1000 毫公升）。純酒精量為 600 × 0.95＝570 毫公升。設加入 x 毫公升冷開水，可列出： 70% ≤ 570 ÷（600＋x）≤ 75%，且 x ≥ 0 因為 600＋x 為正數，兩邊同乘分母時，不等號方向不變。兩個限制分別計算： 濃度不高於 75%：570 ÷（600＋x）≤ 0.75，得 600＋x ≥ 760，所以 x ≥ 160。 濃度不低於 70%：570 ÷（600＋x）≥ 0.70，得 600＋x ≤ 5700 ÷ 7 ≈ 814.29，所以 x ≤ 1500 ÷ 7 ≈ 214.29。 因此160 ≤ x ≤ 1500 ÷ 7。四捨五入至個位後，最少加入 160 毫公升，最多加入約 214 毫公升。 驗算： 加 160 毫公升時，濃度為 570 ÷ 760＝75%。 加 214 毫公升時，濃度為 570 ÷ 814 ≈ 70.02%，仍在範圍內。 判斷上下限時，記住水加得越少，濃度越高： 最少加水量對應濃度上限 75%。 最多加水量對應濃度下限 70%。 申論題作答時，要寫出設未知數、溶質量、不等式、解題過程，以及精確範圍與四捨五入後的答案。 五、百分率延伸：降價與折扣的比較 95 折表示付原價的 95%，也就是便宜 5%，不是便宜 95%。比較「每單位降價」與「整筆打折」時，可以先算每單位各省多少錢。 例如，每公升 36 元： 打 95 折，每公升省 36 × 5%＝1.8 元，與每公升直接降價 1.8 元相同。 加 20 公升時，兩種方式都省 36 元，實付都是 720－36＝684 元。 若兩種優惠只能擇一，而且當次付款相同，就要比較使用期限：降價活動有截止日，折扣券沒有期限。因此應選擇使用降價優惠，把折扣券留到日後使用，整體較划算。作答理由要寫出兩點：當次金額相同，以及優惠期限不同。 常考陷阱 把乾物重量當成乾燥後總重量：100 × 20%＝20 公斤只是乾物重量。目標含水率不為零時，成品仍含水，還要除以目標乾物比例 50%，得 40 公斤。 直接用含水率差計算失水量：含水率由 80% 降到 50%，不能算成 100 × 30%＝30 公斤失水，再得出 70 公斤。前後百分率的分母已經改變。 直接用目標含水率乘原重：100 × 50%＝50 公斤沒有依據，因為含水率的分母是新總重量，不是原總重量。 被背景範圍干擾：題幹先列出的一般含水率範圍只是情境說明，計算要用題目指定的數據。 把混合比例的後項當成總份數：原溶液與水為 4：1，總量是 5 份，應乘以 4/5。也不能直接用 95% 減去某個百分數來猜答案。 把原溶液當成純溶質：600 毫公升的 95% 酒精，純酒精只有 570 毫公升。稀釋後的分母是 600＋x，不能寫成 570＋x。 混用公升與毫公升：題目問毫公升，就先把 0.6 公升換成 600 毫公升再計算。 把最少、最多加水量配反：濃度上限 75% 對應最少加水量，濃度下限 70% 對應最多加水量。可用「加水越多，濃度越低」檢查。 過早取近似值：先解出 x ≤ 1500/7，再四捨五入成 214。中途用約略值計算，容易產生誤差。 只比優惠名稱：降價與折扣都要先算實付金額。當次金額相同時，才進一步用使用期限說明選擇理由。 記憶口訣 乾燥守乾物，稀釋守溶質；比例先看總，單位先統一；水多濃度低，上限配少水。