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學習重點 把「同一筆錢可購買不同數量的商品」轉成總價相等的關係，再用剩餘金額比例換算購買量。 區分「售價的幾折」與「減少百分之幾」，將百分比折扣、每單位定額降價統一換成實付金額。 優惠比較要兼顧當次支出、使用期限與折扣券的保留價值；當次同價，不代表兩種選擇的後續價值完全相同。 濃度稀釋以純酒精量不變為原則，建立濃度不等式，求出加水量的上下限，並正確換算單位。 核心觀念 一、等值購買：先找共同的總金額 設身上總金額為 M，甲商品每個單價為 a，乙商品每個單價為 b。若這筆錢恰可買甲商品 m 個，或乙商品 n 個，就有 ma＝nb＝M。不必先求出實際帶了多少錢，也能比較兩種商品的價格與購買量。 同一筆錢能買的數量越多，表示該商品單價越低。因此，單價比 a：b＝n：m，與可購買數量比相反。務必分清楚正在比較的是「單價」還是「數量」。 若先買甲商品 x 個，已花費占全部金額的 x／m，剩餘金額占全部的（m－x）／m。原本全部金額可買乙商品 n 個，所以剩下可買： 乙商品數量＝n ×（m－x）／m。 例如，同一筆錢可買甲商品 12 個或乙商品 18 個，先買甲商品 8 個後，剩餘金額占全部的 4／12，因此可買乙商品 18 × 4／12＝6 個。關鍵是把剩餘的「錢」換成另一商品的數量。 也可用等值組合解題：若 12 個甲商品與 18 個乙商品同價，約分後就是 2 個甲商品與 3 個乙商品同價。先求剩餘金額相當於多少個甲商品，再依等值關係換算即可。 另一種快速做法是「設總金額為兩數量的公倍數」：例如設總金額為 36 元，則甲每個 3 元、乙每個 2 元，再直接計算剩餘金額可買幾個。選擇題中算出答案後，可用「剩餘金額＝乙的個數 × 乙的單價」回代檢查。 二、折扣與定額優惠：統一比較實付金額 95 折表示付原價的 95%，也就是省下原價的 5%。設每公升原價為 p 元、購買量為 q 公升、每公升定額降價 d 元，兩種優惠可整理如下： 比較項目每公升降價 d 元95 折 每公升實付p－d0.95p 總實付金額q（p－d）0.95pq 總節省金額dq0.05pq 以每公升原價 36 元、購買 20 公升、每公升降價 1.8 元為例，原價總額為 36 × 20＝720 元。定額優惠可省 1.8 × 20＝36 元，實付 684 元；95 折則付 720 × 0.95＝684 元，也省 36 元。兩種方案的當次支出相同。 申論作答應列出算式與比較結果，不能僅憑「有打折」或「每公升有降價」就斷定何者划算。若題目規定優惠只能擇一，便應分別計算兩種方案。 三、同價時還要看期限與保留價值 作答前先確認消費日期是否落在優惠期間內：活動自 5 月 1 日起至 6 月 30 日止，6 月 1 日加油仍可使用降價優惠。 優惠活動有截止日期，折扣券則沒有使用期限；在活動仍有效、兩種優惠當次同價的條件下，宜先使用限期優惠，保留折扣券供日後使用。這樣當次支出相同，手上仍保有未使用的優惠機會。 完整理由可分成兩層：先說明兩方案當次都付 684 元，再指出限期優惠會到期，而無期限折扣券可以保留。因此，選限期優惠較有利。不能直接宣稱本次使用定額優惠「比折扣券少付」，因為本次金額其實相等；也不能保證未來一定能省下特定金額，因為未來油價、購買量及是否再次消費均未確定。 若要判斷不同油價下何者省得多，可比較每公升折扣節省額 0.05p 與定額降價 1.8 元。由 0.05p＝1.8 得到分界油價為每公升 36 元。 油價高於 36 元：95 折的當次節省金額較多。 油價等於 36 元：兩方案的當次節省金額相同。 油價低於 36 元：每公升降價 1.8 元的當次節省金額較多。 上述比較以購買量相同、正購買量且優惠均適用為前提；若評估跨次消費的整體利益，還要另看折扣券的保留價值。此外，折扣券在油價越高、加油量越多時省得越多，這也是保留它的附加理由之一。 四、濃度稀釋：純酒精量不變，總體積增加 依題目給定的濃度條件計算，並採用加水前後體積可直接相加、浸泡釋出成分可忽略的模型。稀釋時加的是水，所以純酒精量不變，溶液總體積增加，濃度下降。 原有 0.6 公升，即 600 毫公升的 95% 酒精，純酒精量為 600 × 0.95＝570 毫公升。設加入 x 毫公升的水，則稀釋後總體積為 600＋x 毫公升，濃度為 570／（600＋x）。 要求濃度介於 70% 至 75%，包含兩端，應列： 0.70 ≤ 570／（600＋x） ≤ 0.75，且 x ≥ 0。 因為分母為正，可以拆成兩個不等式求解： 570／（600＋x） ≤ 0.75，得到 570 ≤ 450＋0.75x，因此 x ≥ 160。 570／（600＋x） ≥ 0.70，得到 570 ≥ 420＋0.70x，因此 x ≤ 1500／7。 所以精確範圍是160 ≤ x ≤ 1500／7，其中 1500／7 約為 214.2857。依題意四捨五入取至個位，最少加入 160 毫公升，最多加入約 214 毫公升的水。 也能先算目標總體積，再扣除原有的 600 毫公升：75% 時總體積 570／0.75＝760，需加水 160；70% 時總體積 570／0.70 ≈ 814.29，需加水 1500／7 ≈ 214.29。上限濃度對應最少加水，下限濃度對應最多加水。 常考陷阱 把不同商品的個數直接相減：原本可買乙商品的數量，不能直接扣掉已買甲商品的數量；應先求已花或剩餘金額的比例。 求成已花金額可買的數量：x／m 是已花比例，（m－x）／m 才是剩餘比例。算完可檢查：已購甲商品越多，剩餘可購乙商品應越少。 把單價比與數量比寫成同方向：等總價下，單價較高的商品可買較少，兩種比例互為反比。 把 95 折當成減價 95%：95 折是付 95%、省 5%；折數應乘在原價或原價總額上。 把每公升降價當成整筆只減一次：每公升降價 1.8 元，購買 20 公升應共減 36 元。題目若寫「每筆折抵」，計算方式才不同。 把互斥優惠疊加：「僅能擇一」表示不能先降價再打折，也不能把兩種節省額相加。 忽略日期條件：須先確認消費日在優惠期間內，限期優惠才可使用。 只寫一樣便宜就結束：當次實付相同後，仍須交代期限差異與保留折扣券的理由，才能完整回答方案選擇。 稀釋時把分子也增加：加入的是水，純酒精仍為 570 毫公升；增加的是分母的總體積。 混用公升與毫公升，或把總體積當加水量：先統一單位；算出的目標總體積還須扣除原有體積。 顛倒最少與最多加水量：水越多，濃度越低。應先保留精確界限，最後才按題意取近似值，避免中途四捨五入造成誤差。 記憶口訣 同錢換商品，先算剩幾成；折扣看實付，同價留好券；稀釋酒精不變，水多濃度就減。