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學習重點 遇到連等式，先設為同一個共同值，再分別還原各數，利用偏移量比較大小。 將文字條件轉成代數式，先代入已知量、合併常數，再處理未知量。 分清楚「恰好等於」與「最接近」：前者可解方程式，後者應比較各候選值與目標值的差距。 比較代數式時，必須使用未知數的取值限制；「正整數」代表最小值為 1，是判斷大小的重要條件。 核心觀念 一、連等式：相等的是運算結果，不是原來各數 連等式表示每一段運算後的結果相同。例如甲加上一個數、乙減去一個數之後相等，並不代表甲與乙原本相等。最穩定的做法，是把各段共同的結果設為 k，再分別表示原來的數。 若有 A＋a＝B－b＝k，則 A＝k－a、B＝k＋b。也就是說，原數加上 a 才到達 k，原數便比 k 小 a；原數減去 b 才到達 k，原數便比 k 大 b。 已知關係還原原數與共同值的關係 A＋a＝kA＝k－aa＞0 時，A 比 k 小 B－b＝kB＝k＋bb＞0 時，B 比 k 大 例如「甲＋1＝乙－2＝丙＋3＝丁－4＝k」，還原後為甲＝k－1、乙＝k＋2、丙＝k－3、丁＝k＋4。只要比較偏移量即可：因為－3＜－1＜2＜4，所以 k－3＜k－1＜k＋2＜k＋4，對應回名稱就是丙＜甲＜乙＜丁。 此方法不必求出 k，也不必知道 k 是正數或負數。所有數都含有相同的 k，一起增加或減少相同數量，不會改變原本的大小順序。若想快速驗算，可令 k＝0，直接得到甲＝－1、乙＝2、丙＝－3、丁＝4，再排序檢查。 二、一次式代入：先固定已知量，再反推未知量 文字情境中的一次式，常包含「固定金額＋某係數×等級＋另一係數×星級」。先辨認每個數量的角色，才能避免把等級、星級或係數放錯位置。 以交情等級記為 g、餐廳星級記為 s，計算金額記為 M，可寫成 M＝1000＋400g＋250s。星級已知為 4 時，先算出 250×4＝1000，再合併常數，得到 M＝2000＋400g。 這個式子表示：星級固定後，交情等級每增加 1，計算金額就增加 400。由於 g 只能取 1、2、3、4，候選值只有四個，不需要猜測其他小數或範圍外的數。 若計算結果恰好等於某金額，可以用反運算：先減去固定部分，再除以未知量的係數。例如由 2000＋400g＝3600，可得 400g＝1600，進而得到 g＝4。求出後仍應檢查是否符合等級範圍（4 在 1～4 之內，成立）。 三、近似值判斷：比較與目標的距離 「最接近」不等於「一定相等」。當情境表示將計算結果調整成某個金額時，應先保留近似的意思，再檢查允許的候選值。判斷接近程度，要看兩數相差多少，也就是差的絕對值。 令目標值為 T，候選值產生的結果為 M，則距離為 |M－T|。距離越小，代表越接近；距離為 0，代表完全相等，已是最接近的情況。 候選等級 g代入 2000＋400g與目標 3600 的距離 124001200 22800800 33200400 436000 這類情況有候選值恰好命中目標，因此可直接選出距離為 0 的候選值，即交情等級為 4。若反推結果不是整數，就不能不加檢查地四捨五入；應回到允許的候選值，逐一代入比較。 另外，「吉利數字」本身沒有提供完整的數字清單或調整規則，不宜自行假設必須取整百、整千，或一律向上調整。本單元的數值可由候選值直接命中目標，無須另訂規則。 四、代數式大小比較：善用正整數下界 未知數尚未確定，仍可能判斷哪個式子最大。關鍵是先整理限制：x 是正整數，表示 x＝1、2、3、……，因此一定有 x≥1。 比較 x－4、x＋2、x/3、5x 時，可先找出最可能最大的 5x，再用「作差」逐一確認。若候選最大式減去另一式的結果恆大於 0，就證明它較大。 比較對象作差利用 x≥1 判斷 5x 與 x－45x－(x－4)＝4x＋4至少為 8，恆大於 0 5x 與 x＋25x－(x＋2)＝4x－2至少為 2，恆大於 0 5x 與 x/35x－x/3＝14x/3x＞0，因此恆大於 0 三個差值都為正，因此 5x 在所有允許的 x 值下都最大。特別要注意 5x 與 x＋2：單靠「5 比 1 大」不能完成證明，還必須處理常數項＋2；正整數下界正好保證 4x－2＞0。 也可以先用 x＝1 做直覺檢查：四式分別為－3、3、1/3、5，5x 最大；再用作差確認 x 變大時順序不會被反超。 常考陷阱 直接照連等式的加減數字排序：式子中的＋1、－2 等，是對原數進行的運算，不是原數相對共同值的偏移量。應先還原，＋1 會變成 k－1，－2 會變成 k＋2；方向一反，選項就會整個顛倒。 只知道分成兩邊，卻排錯各邊順序：同樣低於共同值時，加得越多的原數越小；同樣高於共同值時，減得越多的原數越大。完成排序後，要再核對名稱與方向。 代入星級時漏乘係數或漏加固定值：星級 4 應代入 250×4，且原有固定金額 1000 仍須保留。先合併固定部分，可減少運算錯誤。 把星級與等級的係數對調：400 乘的是交情等級，250 乘的是餐廳星級，代入前先確認對應關係。 看到「最接近」就直接當成等號：等號可用來尋找是否有恰好命中的候選值；若沒有，仍須比較距離，不能把解出的非整數直接當作等級。 把差值越負誤認為越接近：接近程度看絕對值。例如差－800 的距離是 800，比差 400 的距離更遠。 只看係數，忽略常數與取值範圍：一次式的大小可能隨 x 改變。必須把差式算出來，再利用 x≥1 判斷正負。 把正整數看成任意正數：正整數不能取 0 或 0.1。若只限制 x＞0，5x 未必大於 x＋2；兩者要到 x＞1/2 時才有前者較大。 代入一個數就當成完整證明：代入 x＝1 可協助檢查，但一般不能證明所有正整數都成立。作差並使用下界，才能支持「一定最大」的結論。 記憶口訣 連等先設同一值，加號變減減變加。已知先代常數併，近似要看距離零。正整數從一開始，誰大作差看正負。