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學習重點 理解二元一次聯立方程式的意義：同一組未知數必須同時滿足兩條方程式。 依係數選用代入消去法或加減消去法，正確處理括號、負號與等式兩邊的運算。 題目若求兩數的和（如 x＋y、a＋b），先看能否把兩式組合成「k（x＋y）＝c」，再決定是否分別求解。 能把次數、總分、圖形面積等情境轉成兩條方程式，並檢查解是否符合情境（整數、非負、正數）。 含參數的聯立方程式：先把參數當常數求出 x、y，再依「解均為正數」等條件求參數範圍。 核心觀念 一、聯立方程式：找出同時成立的一組數 二元一次方程式通常寫成 Ax＋By＝C，其中 A、B 不同時為零。單一方程式有無限多組解；聯立兩條方程式，就是找出兩者共同的解。消去法的目標，是把兩個未知數化成一個未知數，求出後再回代求另一個。 字母代表什麼，要依題目判讀。若方程式的未知數本身就是 a、b，便直接求 a、b；若題目說「解為 x＝a、y＝b」，則 a、b 是 x、y 的解值，此時 a＋b 就等於 x＋y。不要把「解的名稱」誤認為另外新增的未知數。 二、代入消去法：先孤立，再代入 當某個未知數的係數是 1 或－1，通常適合代入法。先由一條方程式把某個未知數寫成另一個未知數的式子，再完整代入另一條方程式。以 2x＋y＝11、3x＋4y＝29 為例： 由 2x＋y＝11，整理成 y＝11－2x。 代入 3x＋4y＝29，得 3x＋4（11－2x）＝29。 展開整理：3x＋44－8x＝29，所以－5x＝－15，得 x＝3。 回代得 y＝11－6＝5，因此 x＋y＝8。 驗算：2×3＋5＝11，3×3＋4×5＝29，兩式皆成立。 代入時，原式中的「4y」表示 y 的整個式子都要乘以 4，所以必須先寫成 4（11－2x）再展開。求出其中一個未知數後，仍須依題目要求回代或計算指定代數式。 三、加減消去法：係數相反用加，係數相同用減 若兩條方程式中某個未知數的係數已相同或互為相反數，可直接相減或相加；若尚未配合，先將方程式兩邊同乘適當的非零數，使該未知數的係數相同或相反。 係數情況消去方式檢查重點 係數相同，例如 3y、3y兩式相減減去的是整條方程式，各項（含常數項）都要變號。 係數相反，例如 3y、－3y兩式相加左右兩邊對應相加，常數項也要相加。 係數尚未配合先倍乘，再加減整條方程式的每一項都要乘，包括等號右邊。 例如前述兩式，可將 2x＋y＝11 乘以 4，得 8x＋4y＝44，再減去 3x＋4y＝29，得 5x＝15，x＝3。兩種消去法答案相同，選計算較簡單的方法即可。 四、只求兩數和：先看能否直接組合 題目問 a＋b 或 x＋y，不一定要分別求出兩個未知數。可觀察兩條方程式相加、相減或倍乘後，能否得到 kx＋ky＝c；若 k≠0，就能直接得到 x＋y＝c／k。 例如 2x＋y＝11 與 3x＋4y＝29：兩式相加得 5x＋5y＝40，所以 x＋y＝8，一步就得到答案。兩式相加後兩個未知數的係數若剛好相同，就是直接求和的訊號；若做不到，就照一般消去法分別求出再相加，同樣正確。 選擇題也可用來輔助：求出解後，代回兩條原式驗算，確認無誤再選答案。 五、次數與總分：一式管「次數」，一式管「分數」 以丟銅板為例：正面得 3 分、反面得 2 分，共丟 26 次、得 68 分。設正面 x 次、反面 y 次： 總次數：x＋y＝26 總得分：3x＋2y＝68 將總次數式乘以 2 得 2x＋2y＝52，再用總分式減去它，得 x＝16，進而 y＝10。驗算：16＋10＝26，3×16＋2×10＝48＋20＝68，正確，故正面 16 次。 也可用「全部先當低分」理解：若 26 次全為反面，共得 52 分；實際多出 68－52＝16 分，每把一次反面換成正面多 3－2＝1 分，因此正面有 16 次。一般而言，若高分每次 H 分、低分每次 L 分，總次數 N、總分 S，且 H＞L，則高分次數＝（S－LN）÷（H－L）。 次數必須是非負整數，且不能超過總次數；求完要同時檢查「次數加總」與「得分加總」。 六、圖形面積：先讀圖列式，再做消去 面積情境的重點是把圖上的長度關係翻成代數式。若圖形為長方形，面積＝長×寬；若已知兩座設施的面積和，就先分別寫出兩座的面積，相加後等於已知總和，得到一條方程式；另一張圖的面積和提供第二條方程式。 列式時須辨清標示的是整段長度、其中一段，還是兩圖共用的長度；若一邊由數段組成，應先相加再乘。長度單位是公尺、面積單位是平方公尺，不能把長度直接加進面積總和。 列出兩條含 a、b 的方程式後，若題目求 a＋b，同樣先試著把兩式相加或相減，看能否得到 k（a＋b）的形式；不行就分別解出 a、b 再相加。最後檢查 a、b 是否為正數，並代回兩個面積總和驗算。申論題要寫出設未知數、列式、消去、求值的完整過程。 七、含參數與正數條件：先求解，再取交集 含參數 m 時，先把 m 視為已知常數，用消去法求得 x、y 以 m 表示的式子。若題目說解為 x＝a、y＝b，且 a、b 均為正數，就必須同時滿足 a＞0 與 b＞0。 示範：若求得 x＝m＋4、y＝7－m，則 x＞0 得 m＞－4，y＞0 得 m＜7，合併為－4＜m＜7。此時 3、0、－2 都在範圍內，而－5 不在範圍內，所以「m 不可能為－5」。 「均為正數」代表兩個條件取交集。正數不包含 0，若端點使任一解等於 0，就必須排除。選項問「不可能」時，應找出不在允許範圍內的數；也可把各選項的 m 代回，求出 x、y，看是否有任一個小於或等於 0。 若求解時需要除以含 m 的式子，要先確認該式不為 0；解含參數的不等式時，若乘除負數，不等號必須反向。 常考陷阱 代入漏乘：把 4（11－2x）寫成 44－2x。括號內每一項都要乘以 4，正確為 44－8x。 相減漏變號：減去整條方程式時只改第一項的符號。應先保留括號，再逐項處理負號，常數項也要相減。 倍乘漏乘右邊：方程式乘以某數時，只乘左邊未知數，忘了等號右邊的常數。 答非所問：求出 x 或 y 就選答案，忘了題目問的是兩數和；選項中常出現單一未知數的值（如 3、5）或其他組合來誘答。 情境對象對調：把正面次數與反面次數弄反；例如反面次數 10 次也出現在選項中，須看清題目問的是哪一個。 分數與次數混用：總次數列 x＋y，總分才列 3x＋2y。高低分法的除數是「每次的分數差」，不是高分的分數。 只驗一條方程式：符合其中一式不代表是聯立方程式的解，驗算須同時代回兩式。 把「兩個都正」看成「和為正」：x＋y＞0 不能保證 x＞0 且 y＞0。 正數與非負數混淆：「正數」用＞0，「非負數」才用≥0，會影響端點是否納入；0 本身可能是合法的 m 值，不要因為「0 不是正數」就誤以為 m＝0 不行——要判斷的是解 x、y 是否為正，而不是 m。 反問法看錯：題目問「不可能」，要選落在範圍外的值，不是範圍內的值。 記憶口訣 係數好配就加減，係數為一先代入；求和先看能否合，算完回代驗兩式。 次數一式、總分一式；參數當常數，兩解皆正取交集，正數端點不含零。