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學習重點 將文字條件轉成數學式：總量用等式表示，「較多、較便宜、至少、不超過、以內」用適當的不等號表示。 區分固定成本與變動成本，掌握付費人數、產生成本的人數，以及每增加一單位帶來的收入與支出。 看懂平均油耗的單位，以「距離÷平均油耗」求用油量，再建立租金與油費的總成本函數。 利用兩方案成本相等找出臨界距離，再依嚴格或非嚴格不等式判斷適用範圍。 解出不等式後，檢查人數、距離或投球局數的取值限制，確認答案是否需要取整數、是否包含端點。 核心觀念 一、總量等式搭配大小關係：用一半判斷範圍 已知各類數量的總和時，先以「總量－已知各類合計」求出未知兩類的合計。設玻璃類為 x 公噸、其他類為 y 公噸，兩類合計為 S 公噸，則 x＋y＝S；若其他類比玻璃類多，另有 y＞x。 將 x＝S－y 代入 y＞x，可得 y＞S－y，因此 2y＞S，即y＞S÷2；同理可得x＜S÷2。兩類數量不相等，因此合計的一半不會是任一類的實際數量。再加上各類重量不為負，可整理出兩類的完整範圍： 類別取值範圍說明 較少的一類（玻璃）0 ≤ x＜S÷2一定低於一半，不能等於一半 較多的一類（其他）S÷2＜y ≤ S一定超過一半，不能等於一半 例如，若由表格算出的剩餘合計為 350 公噸，就能推出其他類一定超過 175 公噸，玻璃類一定低於 175 公噸。這個結論的前提是先確認剩餘合計確為 350，不能直接拿全部回收量的一半來比較。 判斷「有可能」的敘述時，應把候選數值代回總和等式，求出另一類，再檢查兩者大小與非負條件。若選項說某一已知類別是未知類別的 2 倍，就先將該已知量除以 2，求出未知量，再看它是否落在上表的範圍內：例如某已知類別是玻璃類的 2 倍，則玻璃類＝該已知量÷2，必須小於 S÷2 才有可能；某已知類別是其他類的 2 倍，則其他類＝該已知量÷2，必須大於 S÷2 且不超過 S 才有可能。判斷「一定」則須由條件直接推出，僅找到一組符合的數值並不足夠。 二、收入與成本：先找出誰付錢、誰產生支出 設學員有 n 人，只有學員繳報名費，因此總收入為 600n 元。餐費包含學員及 4 名工作人員，總用餐人數是 n＋4 人；再加上場地費，總成本為 2000＋500(n＋4) 元。 收支平衡即收入足以支付全部費用，應列600n ≥ 2000＋500(n＋4)。整理得 100n ≥ 4000，所以 n ≥ 40，至少需要 40 名學員。 也可從每位學員帶來的淨收入理解：每位學員繳 600 元，但同時增加 500 元餐費，因此每增加一位學員，只有 100 元可用來支付其他費用。必須負擔的金額為場地費 2000 元，加工作人員餐費 4×500＝2000 元，共 4000 元，故需要 4000÷100＝40 人。 一般而言，若固定支出為 F、每位參加者收費為 p、每位參加者增加的成本為 c，且 p＞c，則不虧損條件為(p－c)n ≥ F。求出下限後，人數必須取符合條件的最小整數；若下限不是整數，要無條件進位。 三、平均油耗：先辨認每一公升能行駛幾公里 平均油耗若以「公里／公升」表示，意思是每公升汽油可行駛的距離。設平均油耗為 e 公里／公升、行駛距離為 d 公里、油價為 p 元／公升，則： 用油量＝d÷e，單位為公升。 油費＝(d÷e)×p，單位為元。 若租金為 R 元，總成本 C(d)＝R＋(p÷e)d。 同樣的距離與油價下，e 越大，所需汽油越少，油費越低。若資料給的是兩個距離所對應的剩餘油量，在題設的線性關係下，可用行駛距離的增加量÷剩餘油量的減少量求平均油耗。剩餘油量的減少量才是該段距離消耗的汽油量，不能直接用剩餘油量本身計算。 比較行駛 450 公里的兩款車，應各自計算租金＋(450÷平均油耗)×30，再以較高總成本減較低總成本，求出便宜多少元。租金、平均油耗及其他表格資料必須依原表代入，不能只憑車款名稱推定結果。作答時應寫出兩款車的用油量、油費與總和，再寫結論。 四、線性成本與臨界距離：相等處是分界 設汽油車租金為 R汽、平均油耗為 e汽；油電混合車租金為 R混、平均油耗為 e混。油價每公升 30 元時，兩者總成本為： C汽(d)＝R汽＋(30÷e汽)dC混(d)＝R混＋(30÷e混)d 租金是固定成本，也就是直線的截距；每公里油費是距離前面的係數，也就是成本直線的斜率。當汽油車租金較低、每公里油費較高時，短程是汽油車便宜，長程則改由油電混合車便宜，兩直線的交點就是分界。 要求汽油車「較便宜」，應列C汽(d)＜C混(d)。若 30÷e汽－30÷e混＞0，整理可得： d＜(R混－R汽)÷(30÷e汽－30÷e混)，並須同時符合 d ≥ 0。 右側的值是兩車成本相等的臨界距離。「行駛多少公里以內汽油車較便宜」即求此臨界距離，答案寫成「行駛距離小於臨界距離時」。在臨界距離上，兩方案一樣貴，因此不符合「較便宜」；若題意改為「不比另一方案貴」，才可將等號納入。解題時若除以負數，必須反轉不等號；不可未確認係數正負就直接套用方向。 五、平均值降至門檻：固定分子、增加分母 防禦率＝自責分×9÷投球局數。設目前自責分為 r、已投 L 局，再投 t 局且不增加自責分，則新防禦率為 9r÷(L＋t)。要求降至 3（含）以下，應列： 9r÷(L＋t) ≤ 3。 因總投球局數為正數，兩邊同乘 L＋t 不需改變不等號方向，可得 9r ≤ 3(L＋t)，因此t ≥ 3r－L，且 t ≥ 0。「3（含）以下」包含等號，所以剛好等於 3 也算達標。若原本已達標，至少再投的局數就是 0；若題目限定以完整局數作答，則取符合條件的最小整數。 代入資料時，要使用原始自責分與投球局數，不宜以已四捨五入的防禦率反推。若表格採棒球常見的局數記法，小數點後的 1、2 分別表示三分之一局、三分之二局，不能當作一般十進位小數計算。 常考陷阱 常見錯誤寫法判斷關鍵 只用場地費除以每人淨收入。工作人員雖不繳費，仍產生餐費，須納入支出。 把報名費全當成可支付固定費用的金額。先扣掉每位學員本身增加的餐費，才是每人的淨貢獻。 較少的一類「有可能」恰為剩餘總量的一半。「比另一類多」是嚴格大於；等於一半會使兩類相等，故不可能。 已知類別是未知類別的 2 倍，就認定有可能。先除以 2 求出未知量，再檢查是否落在該類的取值範圍內。 某組數值符合條件，就認定敘述一定成立。找到一組只能支持「有可能」；「一定」須涵蓋所有符合條件的情況。 用距離乘以公里／公升求油量。油量應以距離除以平均油耗，確認最後單位是公升。 省油的車一定總成本較低。總成本還包含租金；必須代入相同行駛距離後比較。 將臨界距離包含在「較便宜」的範圍內。臨界點是成本相等，嚴格較便宜應排除該點。 最少人數採一般四捨五入。應取符合不等式的最小整數，並代回檢查。 防禦率降低時，也減少原有自責分。未增加自責分表示分子固定，增加的是投球局數。 記憶口訣 總量先扣已知，多者過半、少者未半，一半誰都不是。 收入看繳費，成本看用量；每人先扣成本，再補固定支出。 距離除油耗，油量乘油價，最後加租金。 相等找分界，便宜看嚴格；最少驗整數，端點看題意。