一次不定方程的整數解

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建立於 2026年11月10日

學習重點 把「總金額、總支數、總人數」轉成方程式，並依題意設定正整數或非負整數限制。 利用最大公因數、奇偶性與餘數，快速判斷整數解是否可能存在。 在固定金額下，透過代入、通解或總個數的表示式，求購買數量或人數的最大值。 把整數解的參數範圍轉成可行解個數，避免把「求最大值」與「求購買方式數」混為一談。 面對固定次數的計分題，同時檢查總次數、分數範圍與餘數條件；通過篩選後，仍須確認能實際組合。 核心觀念 一、先列方程式，再寫清楚整數限制 設兩種物品的數量分別為 x、y，單價為 a、b，全部花完的金額為 M，可列成 ax＋by＝M。這類方程式通常不只有一組解，解題重點在於找出符合題意的整數解。 題目用語數學限制判斷重點 兩種都至少買一個、各買數本且不能為零x、y 為正整數，即 x≥1、y≥1任一變數為零的解都要排除 未要求每一種都要有x、y 為非負整數，即 x≥0、y≥0可以只使用其中一種 錢全部花完ax＋by＝M不能只列成小於或等於 共買 N 個、共射中 N 支各類數量相加等於 N除金額或分數式外，另有總個數限制 若所有係數有公因數，可先約分。例如 20x＋30y＝300，可化成 2x＋3y＝30，計算較簡單，整數解不會改變。 二、整除、奇偶性與餘數是第一道篩選 對整數係數方程式 ax＋by＝M，存在整數解的充要條件，是 a、b 的最大公因數能整除 M。但這只保證有整數解，並不保證解符合非負或正整數限制。例如 4x＋6y＝2 雖然符合最大公因數的條件，卻沒有非負整數解。 約分後應觀察奇偶性。以 3x＋2y＝23 為例，2y 是偶數，因此 3x 必須是奇數，故 x 必為奇數。若是 3x＋2y＝20，則 x 必為偶數。先限制變數的奇偶性，就能省去一半的嘗試。 更一般地，可用模運算分析餘數。「A≡B（mod m）」表示 A、B 除以 m 的餘數相同。當方程式某一項是 m 的倍數時，取模 m 就能消去該項，留下另一個變數的限制。 三、固定金額下，如何求總個數的最大值 設較貴物品單價為 a、較便宜物品單價為 b，且 a＞b。令總個數為 n＝x＋y，則 ax＋by＝M 可改寫成： bn＋(a－b)x＝M，因此 n＝［M－(a－b)x］÷b。 因為 a－b＞0，所以較貴物品的數量 x 越少，總個數 n 就越多。解題關鍵是找出符合整除條件與題意的最小 x，不能直接把 x 設成零或一。 例如全票 30 元、半票 20 元，總金額 230 元，設全票 x 張、半票 y 張，約分得 3x＋2y＝23。由奇偶性知 x 為奇數，不可能為 0，最小可取 1，此時 y＝10，總人數為 11。也可先用最便宜票價估計：人數不超過 230÷20 的整數部分，即 11 人，再確認這個上限確實能達成。 若兩種筆單價為 15 元與 10 元，總金額 100 元，且兩種都要買，約分得 3x＋2y＝20。較貴的筆數 x 必須是正偶數，可行解為 (x，y)＝(2，7)、(4，4)、(6，1)，總數分別為 9、8、7，最多為 9 枝。這說明「至少買一枝」不代表「買一枝就能把錢花完」；若誤取 x＝1，會得到 y＝8.5，不是整數。 四、利用通解求正整數解的個數 對 a、b 為正整數的方程式 ax＋by＝M，若已找到一組整數解 (x₀，y₀)，並令 d 為 a、b 的最大公因數，則全部整數解可寫成： x＝x₀＋(b÷d)t，y＝y₀－(a÷d)t，其中 t 為整數。 再把 x、y 的正整數或非負整數限制代入，求出 t 的範圍。若整數參數可從 L 取到 U，且 L≤U，解的個數就是 U－L＋1。 例如 20 元與 30 元的筆記本各至少買一本，總共花 300 元。約分得 2x＋3y＝30，由奇偶性知 y 為偶數，令 y＝2t，便有 x＝15－3t。由 y≥1 得 t≥1，由 x≥1 得 15－3t≥1，即 t≤4（t 為整數），因此 t＝1、2、3、4，對應 (x，y)＝(12，2)、(9，4)、(6，6)、(3，8)，共有 4 種購買方式。若誤把 t＝0（只買 20 元的 15 本）或 t＝5（只買 30 元的 10 本）也算進去，就會多算成 6 種。每組數量就是一種方式，不必再計算購買順序。 五、固定總次數的多種分數組合 若飛鏢各區分數為 a、b、c，命中各區的支數為 x、y、z，共有 N 支在靶上，總分為 S，則必須同時滿足： x＋y＋z＝N；ax＋by＋cz＝S；x、y、z 均為非負整數。 代入 z＝N－x－y，可得 S＝cN＋(a－c)x＋(b－c)y。因此 S－cN 必須能由兩個分數差組成，且仍要滿足 x＋y≤N。這就是把固定支數問題轉成不定方程的方法。 快速篩選時，依序做三件事： 範圍：總分必介於「N×最低分」與「N×最高分」之間，超出者直接排除。 奇偶或餘數：若各區分數全是奇數，總分的奇偶性就與 N 相同（N 為偶數時總分必為偶數）；若全是偶數，總分必為偶數。若各區分數除以 m 都餘 r，則總分除以 m 的餘數必與 Nr 除以 m 的餘數相同。 實際湊出一組：通過前兩關的選項，要找出一組非負整數支數，使支數和恰為 N、分數和恰為 S。 以假設的計分方式說明：若各區分數為 3、5、7 分，共 10 支在靶上，則總分介於 30～70 分；三種分數都是奇數、支數為偶數，所以總分必為偶數。如此 25（低於下限）、33（奇數）、72（超過上限）都不可能；40 則可用 3 分 5 支、5 分 5 支湊出，確實可能。實際作答時，各區分數一律以題目計分圖為準，再套用相同的三步驟判斷。 通過範圍與餘數檢查，只代表尚未被排除。要判定「可能」，仍須找出符合固定支數的實際組合。 常考陷阱 直接用總金額除以最低單價：得到的是數量上限；若有餘款或兩種都要買，還須檢查能否達成。 為了買最多，把較貴物品固定買一個：一個可能不符合整除或奇偶條件，應找最小的可行數量。 把零也算進正整數解：「各至少一個」「不能為 0」必須排除任一變數為零的解；未要求每種都有時，則不要自行加上正整數限制。 只檢查最大公因數：整數解可能含負數，仍須套用數量範圍。 看到分數在上下限內，就判定可能：還要通過奇偶或餘數條件，並確認能以指定支數組成。 只看奇偶，忽略上下限：奇偶正確的大數字（或小數字）可能超出 N 支飛鏢能得到的範圍。 只列總分式，漏列總支數式：即使能湊出該分數，也可能使用了錯誤的飛鏢數量。 把方式數當成總個數：求方式數是數有幾組可行解；求最多幾個則是比較各組解的 x＋y。 記憶口訣 先列式、定範圍；看奇偶、查餘數；求最多、貴的少；數方法、兩端清。 固定次數的計分題再記：先看上下限，再查奇偶關，最後湊一組。