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學習重點 熟悉和平方、差平方與平方差公式，能依式子的結構選擇展開、因式分解或配方。 遇到大數或小數的平方相減，能用平方差公式轉成「和×差」，湊出整十、整百等好算的數。 看出「兩數相差 6，乘積再加 9」可配成兩數平均值的平方，並結合質數條件篩選答案。 能將正方形與長方形的面積分別列式、加總，再辨識完全平方公式。 已知兩數和與平方和時，能求出乘積及兩數差的可能值，並判斷哪些量唯一確定。 核心觀念 一、三個乘法公式：先辨結構，再做計算 名稱公式辨識關鍵 和平方(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²兩個平方項，中間加上兩倍乘積。 差平方(a－b)²＝a²－2ab＋b²兩個平方項，中間減去兩倍乘積。 平方差a²－b²＝(a＋b)(a－b)兩個平方相減，轉成和與差的乘積。 「差平方」與「平方差」是不同結構。前者是整個差拿去平方，後者是兩個平方相減。例如 (a－b)² 有三項，a²－b² 則只有兩項，不能混用公式。 二、平方差公式：大數平方相減的速算 遇到大數平方相減，先觀察兩數的和與差是否容易算。例如 103²－97²＝(103＋97)(103－97)＝200×6＝1200。這樣可以避免先算出兩個大平方數，再做減法。 題目常刻意設計成兩數的和恰為整十、整百，即使數字是小數也一樣適用。例如 87.5²－12.5²＝(87.5＋12.5)(87.5－12.5)＝100×75＝7500。看到兩個數的小數部分可以湊整，就是提示要用平方差。 計算步驟： 確認式子是「某數的平方 減 某數的平方」。 先算兩數的和，再算兩數的差（大減小）。 將和與差相乘；若算式是小的平方減大的平方，結果為負數。 公式也可以反向使用：(a＋b)(a－b)＝a²－b²。若兩個乘數分別比同一個數多、少相同數量，就能以共同中心為基準化簡，例如 52×48＝(50＋2)(50－2)＝50²－2²＝2496。 選項數字相近時（例如幾個選項都是幾千），不要用估算硬猜，應實際用「和×差」算出精確值，再比對選項。 三、相差 6 的兩數：乘積加 9 可配成平方 設較小的數為 a，較大的數就是 a＋6，則： a(a＋6)＋9＝a²＋6a＋9＝(a＋3)²。 其中 a＋3 正好是兩數的平均值。因此，兩個數相差 6，其乘積加 9，必為兩數平均值的平方。也可以設兩數為 m－3、m＋3，利用平方差公式得到： (m－3)(m＋3)＋9＝m²－9＋9＝m²。 若再加上「兩數都是質數」的條件，就不能只看到平方形式便選答案。當候選值為 m² 時，必須回推兩個數為 m－3 與 m＋3，確認它們都只有 1 與本身兩個正因數。 平方的底數 m回推的兩個數質數條件檢查 3734、40皆為大於 2 的偶數，不符合。 3835、4135＝5×7，不符合。 3936、42皆為大於 2 的偶數，不符合。 4037、43兩數皆為質數，符合。 也可先利用奇偶性縮小範圍：若相差 6 的質數之一是 2，另一個就是 8，並非質數，所以符合條件的兩數必為奇質數。兩個奇數的平均值可能是奇數，也可能是偶數，但若 m 為奇數，m±3 必為偶數（且大於 2），一定不是質數；所以 m 必須是偶數，再逐一檢查 m－3、m＋3 是否為質數。 四、面積模型：先加總，再辨識完全平方 處理多個圖形的面積總和時，先依個數×單個面積列式。正方形面積為邊長平方，長方形面積為長乘寬；同類圖形可先合併計算。 4 個邊長為 x 的正方形，總面積為 4x²。 4 個長為 x、寬為 1 的長方形，總面積為 4x。 1 個邊長為 1 的正方形，面積為 1。 全部面積相加為 4x²＋4x＋1。因為 4x²＝(2x)²，且中間項 4x＝2×(2x)×1，所以： 4x²＋4x＋1＝(2x)²＋2×(2x)×1＋1²＝(2x＋1)²。 判斷完全平方三項式，要同時檢查首項、末項與中間項。首、末兩項是平方，並不足以確定整式就是完全平方；中間項還必須等於兩個底數乘積的兩倍，正負號也要相符。 若將圖形拼成大正方形，可把外側邊長理解為 x＋1＋x＝2x＋1。但即使圖形排列不易辨認，依各小圖形面積加總，仍可得到正確結果。 五、由兩數和及平方和，求乘積與差 設兩數和為 S＝a＋b，平方和為 Q＝a²＋b²。由和平方公式： S²＝Q＋2ab，因此 ab＝(S²－Q)÷2。 再利用差平方公式： (a－b)²＝Q－2ab＝2Q－S²，因此 a－b＝±√(2Q－S²)；若根號內為 0，則差只有 0。 例如 a²＋b²＝20、a＋b＝2，則 2ab＝2²－20＝－16，所以 ab＝－8。接著 (a－b)²＝20－2×(－8)＝36，故 a－b 可能為 6，也可能為－6。 這兩種差分別對應 (a，b)＝(4，－2) 與 (－2，4)。交換 a、b 的位置，兩數和、平方和與乘積都不變，但兩數差會改變正負號。因此，乘積可唯一確定，差的正負則要看是否另有大小條件。 可用求得的數對驗算：4＋(－2)＝2，4²＋(－2)²＝16＋4＝20，4×(－2)＝－8，與條件完全吻合。 常考陷阱 把 (a＋b)² 寫成 a²＋b²：漏掉交叉項 2ab。已知 a＋b＝2，只能得到 (a＋b)²＝4，不能因此說 a²＋b²＝4。 把平方差寫成差的平方：a²－b²＝(a＋b)(a－b)，不等於 (a－b)²。看到平方相減，應先找和與差。 平方差硬算平方：直接把兩個大數或小數各自平方再相減，容易算錯；先算「和」與「差」，常會出現 100、200 等整數，再相乘即可。 配方只補一次係數：a²＋6a 要配成平方，應先將 6 除以 2 得 3，再補 3²＝9；不是補 3，也不是補 36。 候選值是完全平方數就直接選：質數題還要回推平方底數加、減 3，確認兩個數都為質數；奇數也可能是合數，例如 35。底數為奇數時，回推的兩數都是偶數，可直接排除。 面積加總漏乘個數：4 個邊長 x 的正方形是 4x²，不是 (4x)²；4 個面積為 x 的長方形，合計才是 4x。 只比首項或只比常數項：(x＋2)²＝x²＋4x＋4；(2x＋2)²＝4x²＋8x＋4；(2x－1)²＝4x²－4x＋1。應逐項比對係數與正負號，只有 (2x＋1)² 展開為 4x²＋4x＋1。 移項後把乘積符號算反：2ab＝4－20＝－16，故 ab＝－8。兩數和為正，不代表兩數乘積為正；ab＝8 是錯誤的。 由差的平方只取正根：(a－b)²＝36 表示差可能為 ±6。若選項問「可能」，兩者都可成立；若問「必然」，則不能單獨斷言其中一個。另有 a＞b 時，才能確定取正值。 題目問「何者錯誤」卻選了正確的敘述：先把每個選項判斷對錯，再依題意選出錯誤的那一個。像 a－b＝6 與 a－b＝－6 都「可能成立」，不屬於錯誤敘述；真正錯的是與計算結果矛盾的選項。 記憶口訣 和差平方：首平方、尾平方，中間兩倍乘積看正負。 平方相減：和乘差，湊成整百最好算。 相差六、積加九：平均平方記心頭；質數再回推，加三減三都要驗。 已知和與平方和：和平方減平方和，再除以二求乘積；求差開根，正負都要想。