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學習重點 熟練提公因式、二次三項式分解與平方差公式，並能分解到不能再分解為止。 辨認相反式，掌握括號前負號與奇、偶次方的正負號變化。 將兩個多項式分別因式分解，再找出共同因式與最大公因式。 處理分式時，把除法改成乘倒數，先因式分解再約分，並保留原式的限制條件。 檢查推導過程時，找出第一個不成立的等號，必要時展開驗算。 核心觀念 一、因式、因式分解與提公因式 若多項式 P 能寫成 A×B，則 A、B 都是 P 的因式。因式分解是把「和或差」改寫成「乘積」。只做展開與合併同類項，還不算完成因式分解。 提公因式的基本形式為 AB＋AC＝A(B＋C)。公因式可以是數字、單項式，也可以是整個括號。提出公因式後，括號內填入各項除以公因式所得的商。若某一項恰好等於公因式，提出後要留下 1，不能漏掉。 例如 5(t－2)＋t(t－2)＝(t－2)(5＋t)。判斷能否提取時，要把括號視為一個整體。完成後可將乘積展開，檢查每一項的係數與正負號是否和原式相同。 二、相反式先統一，再提公因式 A－B＝－(B－A)。兩個括號若內容相同、減法順序相反，就互為相反式。相反式並不相等，而是相差一個負號。遇到括號方向不同的式子，先選定一個方向統一，再提出共同的括號。 例如令 U＝2t－5，則 5－2t＝－U。因此 a(2t－5)＋b(5－2t)＝aU－bU＝(a－b)U。負號必須跟著係數一起處理，不能只交換括號內的順序。 同理，若係數本身也是含 U 的式子，例如 k·U＋U·(－U)，提出 U 後得 U(k－U)。若整理後得到 U(－U)，它等於 －U²，不是 U²。答案寫成兩個相反式的乘積，例如 (3x－4)(4－3x)，仍是正確的分解結果，等同於 －(3x－4)²。看選項時要辨認這種等價寫法，不必強求每個括號外觀一致。 三、二次多項式的分解與公因式 首項係數為 1 的二次式，利用x²＋bx＋c＝(x＋m)(x＋n)，其中 m＋n＝b、mn＝c。也就是找出「相加等於一次項係數、相乘等於常數項」的兩個數。 常數項為負：兩數異號，再依一次項係數判斷哪個數的絕對值較大。 常數項為正：兩數同號。一次項係數為正時兩數都為正，為負時兩數都為負。 配對完成後，要展開核對中間項，不能只核對常數項。 例如 x²＋3x－10＝(x＋5)(x－2)，x²－5x＋6＝(x－2)(x－3)，兩式共同含有 x－2。求公因式要先把兩式各自分解，再比較共同出現的因式，不能只比較原式中相同的項。 最大公因式要包含全部共同因式。若同一因式重複出現，取兩式中較小的次方。例如 (x－1)³(x＋2) 與 (x－1)²(x＋5) 的最大公因式為 (x－1)²。一般多項式情境下，最大公因式相差非零常數倍視為相同，通常選擇方便比較的形式。 四、平方差公式與相差負號的因式 A²－B²＝(A＋B)(A－B)。使用前先確認兩項之間是減號，再找出每一項的平方根。例如 25u²－36v²＝(5u＋6v)(5u－6v)。括號內應放 5u、6v，不能直接放入原係數 25、36。 判斷「是不是因式」時，還要辨認相反式。因為 －5u＋6v＝－(5u－6v)，所以原式也可寫成 (－5u＋6v)[－(5u＋6v)]。因式乘上非零常數（包括 －1）後，仍然是原多項式的因式，只要讓另一個因式補償這個常數即可。 反過來說，候選式要能整除原式才是因式。下列幾種都不是因式： 係數沒有正確開平方的式子，例如把 5u 寫成 u。 變數結構不同的式子，例如 25u²－1。 次數相同但不是原式常數倍的式子，例如 u²－36v²。 若原式各項另有共同因數，通常先提出，再用平方差。例如 3u²－27v²＝3(u²－9v²)＝3(u＋3v)(u－3v)。每次分解後都要再看一次，確認剩下的括號能否繼續分解。 五、括號內再平方差：整個式子視為一個量 遇到 U＋(－U)³，先利用奇次方保留負號，改寫為 U－U³。再提出 U，得到 U(1－U²)。最後用平方差化為 U(1＋U)(1－U)。若 U 本身是含減法的式子，代回時必須保留括號。 例如 U＝t－4，則 1＋U＝1＋(t－4)＝t－3，1－U＝1－(t－4)＝5－t。關鍵是減去整個括號時，括號內每一項都要變號。若誤寫成 1－t－4，等式就已經不成立。最後結果為 (t－4)(t－3)(5－t)，也可寫成 －(t－3)(t－4)(t－5)。 形式正確關係判斷重點 (－U)²U²負號在平方範圍內，偶次方變正 (－U)³－U³奇次方保留負號 －U²－(U²)先平方，再取負值 1＋(t－a)1＋t－a前面是加號，括號可直接去掉 1－(t－a)1－t＋a前面是減號，括號內各項都變號 判斷多步推導從哪一步開始出錯，要逐行比較相鄰兩式是否等價。前一步正確、後一步不等價的地方，就是錯誤的起點。後面的步驟即使計算無誤，也是延續錯誤的結果。 六、分式的乘除、約分與限制條件 分式乘法為 A/B × C/D＝AC/(BD)。分式除法為A/B ÷ C/D＝A/B × D/C。改乘倒數時，只把除號後面的整個分式上下顛倒，前面的被除式保持原樣。 化簡的順序如下： 記下限制條件。 把各分子、分母因式分解。 把除法改成乘以倒數。 約去分子、分母共有的非零因式。 約分消去的是乘法因式，不能直接消去加減式中的某一項。化簡後要確認分子、分母不再有共同因式。 例如 (t²－9)/(t²＋t－6)＝[(t－3)(t＋3)]/[(t＋3)(t－2)]＝(t－3)/(t－2)，但仍須保留 t≠－3、t≠2。被約去的因式在原式中仍可能使分母為零。 對 A/B ÷ C/D，原式要求 B≠0、D≠0，而且除數 C/D 不得為零，所以也須 C≠0。判斷可代入的範圍時，不能只看最後答案的分母。 分子、分母的因式若互為相反式，例如 (a－b)/(b－a)，約分後得 －1，不是 1。約分前要先統一括號的方向。 常考陷阱 交換減法順序卻不補負號：A－B 與 B－A 互為相反式。先統一括號再比較選項，避免把相反式的乘積誤認成正的平方。例如 (A－B)(B－A) 等於 －(A－B)²，不是 (A－B)²。 把平方差誤當完全平方：(A－B)²＝A²－2AB＋B²，不等於 A²－B²。看到兩個平方相減，應分解成「一和一差」。 因式外觀不同就排除：候選式若恰好是標準因式的相反式，例如 －(A－B)，仍然是因式。 係數未開平方或結構不符：16x² 的平方根是 4x，不是 x。只有變數部分相似、係數不對，或與原式結構不同的式子，都不是因式。 只符合其中一式就認為是公因式：公因式必須同時整除兩個多項式。找到其中一式的因式後，一定要再核對另一式。 套公式正確，拆括號卻出錯：1－(x－a) 要化為 1－x＋a，不是 1－x－a。檢查推導時，最早失去等價關係的那一行才是錯誤步驟。 奇偶次方的負號處理錯誤：(a－b)³＝－(b－a)³，(a－b)²＝(b－a)²，兩者不可混用。 約掉加減項或忘記限制：(x＋a)/(x＋b) 不能約掉 x。只有整個共同的乘法因式才能約去，而且約分不會取消原式的禁用值。 分式除法顛倒錯對象：只有除數要取倒數。若除數為零，原運算沒有意義。 記憶口訣 先提公、再看式；平方差，一和一差。相反式，補負號；奇次留負，偶次變正。減號拆括，項項變號。二次分解，和看中項、積看常數。分式除，乘倒數；先分解，再約分，原有限制要留住。