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學習重點 掌握有理數的定義：能表示成兩整數之比，且分母不為零；整數、有限小數與循環小數都是有理數。 辨認無理數：無法表示成兩整數之比，其小數表示為無限不循環小數；π 與非完全平方正整數的平方根是常見例子。 區分「一個數的平方根」與「根號所表示的算術平方根」，避免混淆正負號與解的個數。 能由已知平方根建立平方關係，反求未知數，再依題目指定的根式求值。 將圖形排列的頂點重合問題轉成長度相等式，利用「無理數的非零整數倍仍為無理數」判斷。 核心觀念 一、有理數與無理數的判別標準 有理數是能寫成 a／b 的數，其中 a、b 都是整數，且 b ≠ 0。判別重點在於「能否表示成兩整數之比」，不能只看外觀是否有分數線或根號。 整數也屬於有理數，因為任何整數 n 都能寫成 n／1。有限小數可以利用十進位位值改寫成分數，例如 3.14＝314／100＝157／50，因此是有理數。循環小數即使有無限多位，仍能化成分數，也屬於有理數。 數的形式分類判斷理由 整數，例如 0、－3有理數可寫成分母為 1 的整數比。 整數比，例如 15／11有理數分子、分母皆為整數，且分母不為零。 有限小數，例如 3.14有理數可寫成以 10、100 等為分母的分數。 無限循環小數有理數可利用循環節化為整數比。 √8無理數√8＝2√2，8 不是完全平方數，不能表示為兩整數之比。 π無理數其小數表示為無限不循環小數。 無限小數不一定是無理數，必須再看是否循環。例如 1／3 的小數表示雖然無限延伸，卻有固定循環節，因此仍是有理數。只有無限不循環小數才是無理數。 判斷一組數時，建議逐一歸類：分數 → 看分子、分母是否為整數；小數 → 看是否有限或循環；根式 → 先化簡；π → 直接判為無理數。以「15／11、3.14、√8、π」這類組合為例，有理數只有分數與有限小數兩個，根式 √8 與 π 都是無理數。 二、根式與圓周率的分類 看到根號，應先判斷是否能化簡。若非負整數是完全平方數，其算術平方根就是整數，例如 √9＝3，屬於有理數；若正整數不是完全平方數，其平方根就是無理數，例如 √2、√8。 這個判準的前提是被開方數為非負整數，不能把「不是完全平方整數」直接套用到所有分數。例如 √(1／4)＝1／2，仍是有理數。 π 與 3.14 必須分開判斷。π 是圓周率的精確符號，3.14 是它的一個近似值，兩者不相等。近似值是有理數，不代表原來的數也是有理數；使用近似值計算，不能改變精確數值原本的分類。 三、平方根與算術平方根 若 b²＝a，就稱 b 為 a 的一個平方根。在實數範圍內，平方根的情形如下： 被開方數 a平方根的情形√a 的意義 a ＞ 0有兩個平方根，互為相反數。表示其中正的那一個。 a＝0只有一個平方根，就是 0。√0＝0。 a ＜ 0在實數範圍內沒有平方根。在實數範圍內沒有定義。 例如 100 的平方根為 10 與－10，可以合寫成 ±10；但是√100＝10，不能寫成 ±10。因為根號符號 √ 已指定取算術平方根，其值必為非負數。 求解 y²＝100 時，是找出所有平方後等於 100 的數，所以 y＝±10；計算 √100 時，則只取 10。作答前先辨別題目是在「求平方根」、「解平方方程式」，還是「計算根式的值」。 四、由已知平方根反求未知數 遇到「某數是某式的一個平方根」，應直接依定義列式：已知平方根的平方＝被開方的式子。例如已知 5 是 9－2x 的一個平方根，就有 5²＝9－2x，因此 25＝9－2x，解得 x＝－8。 求得未知數後，應代回題目指定的根式，再求其算術平方根。若代入後被開方數為 100，根式的值就是 10，而不是 ±10。注意不要把已知平方根 5 直接等同於 9－2x，也不要在最後看到根號就自行加上正負號。 x 解出負數並不代表無解：只要代入後被開方數為非負數，根式就有確定的值。只有當被開方數算出來是負數時，才是在實數範圍內沒有意義。 另一個常用關係是√(a²)＝|a|，因為算術平方根不能為負。例如 a＝－8 時，√(a²)＝8，而不是－8。 五、以無理數判斷排列頂點能否重合 兩股長皆為 1 的等腰直角三角形，其斜邊長可由畢氏定理求得：斜邊長的平方＝1²＋1²＝2，所以斜邊長為 √2。圖中三角形以斜邊貼著正方形上緣、沿水平方向依序排列，因此三角形底邊上的頂點每隔 √2 出現一次；邊長為 1 的正方形，上緣的頂點則每隔 1 出現一次。至於三角形的直角頂點位於正方形上方，高度高於正方形，不可能與正方形頂點重疊。 以最左邊的共同起點為位置 0，正方形頂點的位置是 0、1、2、3……，三角形底邊頂點的位置則是 0、√2、2√2、3√2……。起點（第 1 個正方形的左端）本來就重合，若起點右方還有重合點，就必須存在正整數 m、n，使 m＝n√2。 但 m 是整數，屬於有理數；n√2 是無理數，兩者不可能相等。也可反過來推論：若 m＝n√2，則 √2＝m／n，會使 √2 成為有理數，與已知性質矛盾。因此，不論排到第幾個正方形，永遠不可能再重合。 背後的通則是：無理數乘上非零有理數，仍為無理數。若乘積是有理數，再除以原來的非零有理數，就會推得原數也是有理數，形成矛盾。非零整數是非零有理數的一種，因此同樣適用。 常考陷阱 「有根號就是無理數」：錯。必須先化簡，√9＝3 就是有理數；√8＝2√2 才是無理數。 「小數位數無限多就是無理數」：錯。無限循環小數仍是有理數，關鍵在於是否循環。 「π＝3.14，所以兩者同類」：錯。3.14 只是近似值，π 是無理數，3.14 是有理數。選項把 π 與 3.14 綁在一起時要特別小心。 「正數只有一個平方根」：錯。正數有正、負兩個平方根；只有根號所表示的算術平方根取非負值。 「√100＝±10」：錯。±10 是 100 的兩個平方根，√100 的值只有 10。 「5 是某式的平方根，所以某式等於 5」：錯。某式應等於 5²，也就是 25。 「x 是負數，所以無解」：錯。x 可為負數，只要代入後根號內不為負，根式就有值。 「無理數的任何整數倍都是無理數」：少了「非零」條件。無理數乘以 0 等於 0，是有理數。 「把 √2 取成 1.414，排到第 14、141、1414 個就會重合」：錯。這些數字只是由近似值 1.4、1.41、1.414 推來的「很接近」，頂點精確重合必須滿足精確等式，不能以距離很接近代替相等。 「圖形沿哪條邊排列都一樣」：錯。先確認貼在水平線上的是斜邊還是股，才能判斷每次前進的長度是 √2 或 1。 記憶口訣 有理看整數比，小數要辨循環；根式先做化簡，π 別當三點一四。 正數平方根有正負，根號取值只非負；頂點重合列等式，無理倍數永不遇。